KÓŁKO MATEMATYCZNE DLA KLAS PIERWSZYCH, 15.10.2009 K _{}aty w okr_{}egach oraz pochodne temu tematy

Teoria:

T1. Zależności mi_{}edzy k _{}atami wpisanymi i środkowymi w okr_{}egu. T2. Czworok _{}aty wpisane w okr _{}ag. T3. Twierdzenie o k _{}acie mi_{}edzy styczn _{}a a ci_{}eciw _{}a i odwrotne. T4. K _{}aty opisane na łukach równej długości. T5. Własności dwusiecznych k _{}atów wpisanych w okr _{}ag. T6. Prosta Simsona. T7. Okr _{}ag Dziewi_{}eciu Punktów

Zadania:

Z1: W trójk _{}acie ABC znajduje si_{}e punkt P. Na bokach BC, CA, AB obrano punkty K, L, M odpowiednio w taki sposób, że na czworok _{}atach P MBK i P KCL da si_{}e opisać okr _{}ag. Udowodnij, że na czworok _{}acie P LAM da si_{}e opisać okr _{}ag.

Z2: Dany jest trójk _{}at ABC. Punkt H jest ABC ortocentrum tego trójk _{}ata. Udowodnij, że obraz H w symetrii wzgl_{}edem prostej BC należy do okr_{}egu opisanym na trójk _{}acie ABC.

Z3: Okr _{}ag o jest dzielony przez n parami różnych średnic na 2n równych cz_{}eści. Punkt M leży wewn _{}atrz o. Wykaż, że rzuty punktu M na wspomniane średnice s _{}a wierzchołkami n-k _{}ata foremnego.

Z4: Punkty A, B, M, N leż _{}a na jednym okr_{}egu. Ci_{}eciwy MA′i MB′s _{}a prostopadłe do prostych NA i NB odpowiednio. Udowodnij, że AA′ jest równoległy do BB′.

Z5: Punkt D leży na boku BC trójk _{}ata ABC w taki sposób, że prosta AM jest dwusieczn _{}a w tym trójk _{}acie. Punkty B′ i C′ s _{}a rzutami punktu D na proste AB i AC odpowiednio. Punkt M leży na prostej B′C′oraz odcinek DM jest prostopadły do boku BC. Wykaż, że prosta AM zawiera środkow _{}a ABC.

Z6: Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag. Wykazać, że środki okr_{}egów wpisanych w trójk _{}aty ABC, BCD, CDA i DAB s _{}a wierzchołkami prostok _{}ata.

Z7: W trójk _{}at ABC wpisano okr _{}ag styczny w punktach K, L i M do boków BC, CA i AB odpowiednio. Punkty P, Q, R s _{}a środkami okr_{}egów opisanych na trójk _{}atach ALM, BMK i CKL. Udowodnij, że proste KP, LQ i MR przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

Z8: Dany jest dowolny trójk _{}at ABC. Udowodnij, że istnieje wewn _{}atrz niego punkt F taki, że ∠AF B = ∠BF C = ∠CF A = \frac{2}{3}π.

Praca Domowa:

P1: Na płaszczyźnie dane s _{}a niewspółliniowe punkty ABC. Rozważamy rodzin_{}e trójk _{}atów równobocznych XYZ takich, że punkty A, B, C leż _{}a na bokach Y Z, ZX, XY odpowiednio. Udowodnij, że istnieje punkty b_{}ed _{}acy środkiem każdego z takich okr_{}egów.