Kółeczko z teorii liczb - zadania  9 października 2009

1. Udowodnij twierdzenia z kartki z teorią (oprócz postulatu Bertanda i twierdzenia Eulera).

2. Udowodnij, że NW D(F_{n}, F_{n+1}) = 1.

3. Udowodnij, że n|m ⇒ F_{n}|F_{m}.

4. Udowodnij, że jeśli p jest liczbą pierwszą, to p|a^{p} − b^{p} ⇒ p^{2}|a^{p} − b^{p}.

5. Niech p będzie liczbą pierwszą większą od 2. Niech a_{1}, a_{2}, …, a_{n} będą parami różnymi niezerowymi resztami modulo p, analogicznie b_{1}, b_{2}, …, b_{n}. Udowodnij, że istnieją k ≠ l takie, że p|(a_{k}b_{k} − a_{l}b_{l}).

6. NW D(n, 10) = 1. Wykaż, że istnieje taka liczba 11 … 1, czyli składająca się z samych jedynek, że n|11 … 1.

7. 7|x^{3} + y^{3} + z^{3}. Udowodnij, że 7|xyz.

8. Udowodnij, że jeśli k|a^{n} − 1 i k|a^{m} − 1, to k|a^{NW D(n,m)} − 1.

9. Udowodnij, że jeśli d > 0 jest najmniejszym takim d, że k|a^{d} − 1, to dla każdego e, jeśli k|a^{e} − 1, to d|e.

10. Udowodnij, że nie istnieje taki n, że n|2^{n} − 1.

11. Udowodnij, że jeśli dla k, l ∈ ℕ liczba k^{2} + l^{2} dzieli się przez 7, to 7|k i 7|l.

12. Udowodnij, że 2222^{5555} + 5555^{2222} dzieli się przez 7.

13. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n i dowolnej liczby naturalnej nieparzystej k suma 1^{k} + 2^{k} + 3^{k} + … + n^{k} dzieli się przez 1 + 2 + 3 + … + n.

14. Udowodnij, że dla k ∈ ℕ liczba 3^{k} + 5^{k} nie jest kwadratem liczby naturalnej.

15. Udowodnij, że dla nieparzystej liczby m > 1 oraz naturalnej n zachodzi (m − 1)^{m^{n}} ≡ −1(mod m^{n+1}).

16. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele takich liczb naturalnych m, że m|2^{m} + 1.

17. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele takich liczb naturalnych m, że m|2^{2m} + 1.

18. Wyznacz resztę z dzielenia przez 7 liczby 10^{10^{1}} + 10^{10^{2}} + … + 10^{10^{10}}.

19. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p, dla których 11|2^{p} + 3^{p}.

20. Znajdź wszystkie takie liczby pierwsze p, że 4p^{2} + 1 i 6p^{2} + 1 są również liczbami pierwszymi.

21. Udowodnij, że \frac{a^{3}+2a}{a^{4}+3a^{2}+1} jest ułamkiem nieskracalnym.

Kółeczko z teorii liczb - zadania  9 października 2009

22. Udowodnij, że następujące liczby nieskończonego ciągu są parami różne: 2 + 1, 2^{2} + 1, 2^{4} + 1, 2^{8} + 1, 2^{16} + 1, …, 2^{2^{n}} + 1, . . ..

23. Niech a_{1}, a_{2}, …, a_{n} będą różnymi liczbami całkowitymi. Pokaż, że iloczyn wszystkich ułamków formy \frac{a_{k}−a_{l}}{k−l} dla wszystkich k, l takich, że n ≥ k > l, jest liczbą całkowitą.

24. Niech p będzie liczbą pierwszą większą niż 3. Udowodnij, że licznik wyrażenia 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{p−1}, po skróceniu ułamka, jest podzielny przez p^{2}.

25. Niech p będzie liczbą pierwszą większą niż 3. Udowodnij, że licznik wyrażenia 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + … + \frac{1}{(p−1)^{2}} , po skróceniu ułamka, jest podzielny przez p.

26. Udowodnij, że jeśli wszystkie współczynniki równania kwadratowego ax^{2} + bx + c = 0 są nieparzystymi liczbami całkowitymi, to równanie nie ma rozwiązań w liczbach wymiernych.

27. Udowodnij, że jeśli p i 8p − 1 są liczbami pierwszymi, to 8p + 1 jest liczbą złożoną.

28. Udowodnij, że jeśli p i 8p^{2} + 1 są liczbami pierwszymi, to 8p^{2} − 1 jest liczbą pierwszą.

29. Udowodnij, że jeśli dla n > 2 jedna z liczb 2^{n} − 1 i 2^{n} + 1 jest pierwsza, to druga jest złożona.