Pi _{}ata seria zadań trudniejszych

czwartek, 26 listopada 2009

1. Niech a i b b_{}ed _{}a dwoma wzgl_{}ednie pierwszymi liczbami całkowitymi. Rozważmy ci _{}ag arytmetyczny a, a + b, a + 2b, a + 3b, … Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele wyrazów ci _{}agu arytmetycznego, maj _{}acych takie same dzielniki pierwsze

2. Wyznacz najmniejsz _{}a możliw _{}a wartość f(1998), gdzie f jest funkcj _{}a z zbioru dodatnich liczb całkowitych w sam _{}a siebie, spełniaj _{}ac _{}a dla każdego m, n ∈ ℕ: f(n^{2}f(m)) = m(f(n))^{2}

3. Niech p b_{}edzie nieparzyst _{}a liczb _{}a pierwsz _{}a. Znajdź liczb_{}e p-elementowych podzbiorów A zbioru {1, 2, …, 2p}, takich że suma elementów A jest podzielna przez p