Kółko dla starszych 5.11.2009

5.11.2009

1. Wartość wielomianu R(x) = a_{n}x^{n} + … + a_{0} jest całkowit _{}a podzieln _{}a przez m ∈ ℕ dla x ∈ ℤ. Udowodnij, że n!a_{n} jest podzielne przez m.

2. Pokaż, że dla dodatnich liczb całkowitych a, b liczb (36a + b)(a + 36b) nie może być pot_{}eg _{}a dwójki.

3. Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych (x, y), takich że x^{2} + 3y i y^{2} + 3x s _{}a jednocześnie kwadratami liczb całkowitych.

4. Dany jest okr _{}ag k i jego ci_{}eciwa AB, nie b_{}ed _{}aca średnic _{}a. Niech C b_{}edzie dowolnym punktem na dłuższym łuku AB okr_{}egu k. Oznaczmy przez K,L odbicia punktów A, B wzgl_{}edem prostych odpowiednio BC, AC. Udowodnij, że odległość mi_{}edzy środkami odcinków AB i KL nie zależy od wyboru punktu C.