Trzecia seria zadań trudniejszych

czwartek, 5 listopada 2009

1. Dany jest trójk _{}at ostrok _{}atny ABC i ortocentrum H. Niech M(AB) b_{}edzie środkiem AB. Okr _{}ag o środku w M(AB), przechodz _{}acy przez H, przecina AB w punktach C1,C2. Analogicznie definiujemy punkty A1,A2,B1,B2. Pokaż, że A1, A2, B1, B2, C1, C2 leż _{}a na jednym okr_{}egu.

2. Wielomiany P, Q, R jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych spełniaj _{}a tożsamość P (x)^{4} + Q(x)^{4} = R(x)^{2}. Wielomiany P i Q s _{}a wzgl_{}ednie pierwsze. Udowodnić, że P, Q i R s _{}a stałe.

3. Znajdź wszystkie takie wielomiany postaci a_{n}x^{n} + … + a_{0} dla |a_{j}| = 1, maj _{}ace n pierwiastków rzeczywistych

4. Niech p b_{}edzie nieparzyst _{}a liczb _{}a pierwsz _{}a. Znajdź liczb_{}e p-elementowych podzbiorów A zbioru {1, 2, …, 2p}, takich że suma elementów A jest podzielna przez p