Węgry i USAMO

29.10.2009

1. Udowodnić, że nie istniej _{}a takie liczby całkowite dodatnie x i y, że x^{2} + y + 2 i y^{2} + 4x s _{}a kwadratami liczb całkowitych.

2. Joasia i Onufry graj _{}a w karty. Talia ma 2n kart ponumerowanych liczbami 1,2,...,2n. Karty potasowano i położono w losowej kolejności w rz_{}edzie (liczbami do góry). Joasia zaczyna. Bierze pierwsz _{}a lub ostatni _{}a kart_{}e. Nast_{}epnie Onufry bierze pierwsz _{}a lub ostatni _{}a kart_{}e z tych, które pozostaly na stole. I tak dalej, aż do momentu gdy na stole nie pozostanie żadna karta. Zwyci_{}eża osoba, która uzbiera wi_{}eksza sume na swoich kartach. Znaleźć taktyk_{}e wygrywaj _{}ac _{}a dla Joasi.

3. Znaleźć wszystkie takie funkcje f : ℕ_{0} → ℕ_{0}, że dla każdego m, n ∈ ℕ_{0} : mf(n)+nf(m) = (m + n)f(m^{2} + n^{2}).

4. Niech ABCD b_{}edzie czworok _{}atem i niech E i F b_{}ed _{}a punktami należ _{}acymi do AD i BC odpowiednio, takimi, że: \frac{AE}{ED} = \frac{BF}{F C}. Prosta F E przecina proste BA i CD w S i T, odpowiednio. Udowodnić, że okr_{}egi przechodz _{}ace przez SAE, SBF, T CF, i T DE przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.