Zadania na kółko 22.10.2009

15.10.2009

1. Znajdź wszystkie n takie, że n! + 5 jest sześcianem liczby całkowitej.

2. Znajdź najwi_{}eksz _{}a możliw _{}a liczb_{}e dowodów nierówności: dla a, b, c ∈ ℝ^{+} zachodzi: \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \frac{3}{2}

3. Udowodnij, że jeśli a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} ∈ {n : n ∈ ℕ, M^{2} < n < (M + 1)^{2}} dla M ∈ ℕ, wtedy a_{1}a_{2} = b_{1}b_{2} tylko jeśli {a_{1}, a_{2}} = {b_{1}, b_{2}}.

4. Dany jest graf o n wierzchołkach. Udowodnij, że jeśli dla każdych dwóch wierzchołków niepoł _{}aczonych kraw_{}edzi _{}a suma ich stopni jest wi_{}eksza niż n, wtedy w grafie istnieje cykl Hamiltona.

5. Każdy nauczyciel w Staszicu nienawidzi najwyżej trzech innych nauczycieli (nienawiść jest symetryczna - jeśli pani X nienawidzi pani Y to pani Y nienawidzi pani X). Udowodnij, że moźna ich podzielić na dwie grupy, tak że każdy nauczyciel nienawidzi najwyżej jednego nauczyciela ze swojej grupy.

6. Wypukły czworok _{}at ABCD jest opisany na okr_{}egu o środku S, jest on równieź wpisany w okr _{}ag. Prosta równoległa do AB, przechodz _{}aca przez S przecina AD w punkcie P i BC w punkcie Q, prosta równoległa do BC, przechodz _{}aca przez S przecina AB w punkcie K i CD w punkcie L. Wykazać, że PQ=KL.