II seria zadan trudniejszych

22.10.2009

1. Na planszy 5x5 dwaj gracze pisz _{}a na przemian liczby w pustych polach do momentu zapełnienia planszy. Pierwszy gracz stawia zawsze 1, natomiast drugi zawsze 0. Po zakończeniu gry dla każdego kwadratu 3x3 liczymy sum_{}e liczb na jego polach. Niech A to b_{}edzie max z tych sum. Celem pierwszego gracza jest uzyskanie jak najwi_{}ekszej wartości A. Znaleźć strategi_{}e dla pierszego gracza.

2. Niech ci _{}ag funkcji f_{1}, f_{2} ... b_{}edzie dla x > 0 określony rekurencyjnie w sposób nast_{}epuj _{}acy:

f_{1}(x) = x, f_{n+1} (x) = f_{n}(x)(f_{n}(x) + \frac{1}{n})

Udowodnić, że istnieje dokładnie jedna dodatnia liczba a, dla której

0 < f_{n}(a) < f_{n+1} (a) < 1

dla wszystkich całkowitych n 1.

3. Niech a i b to takie liczby całkowite dodatnie, że ab + 1 dzieli a^{2} + b^{2}. Pokazać, że \frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1} jest kwadratem liczby naturalnej.

4. Dany jest okr _{}ag o, w którym mamy dwie różne ci_{}eciwy AB i CD, przecinaj _{}ace si_{}e w E. Niech M b_{}edzie punktem z ci_{}eciwy AB różnym od E. Okr _{}ag k przechodzi przez punkty D, E i M. Prosta styczna do k w punkcie E przecina BC i AC w punktach F i G. Dany jest stosunek \frac{AM}{AB} = t. Znaleźć \frac{GE}{EF}.