PI _{}ECIOGODZINÓWKA O PI _{}ATEJ W NOCY

1. Mamy n skarbonek i n kluczyków (każdy kluczyk pasuje do dokładnie jednej skarbonki). Do każdej skarbonki wrzucamy jeden kluczyk. Nast_{}epnie rozbijamy k spośród nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uda nam si_{}e bez rozbijania otworzyć pozostałe skarbonki (możemy używać kluczyków z rozbitych skarbonek, tych z otwartych za ich pomoc _{}a itd.)?

2. W pewnej grupie osób niektóre z nich ucz _{}a si_{}e j_{}ezyka angielskiego, hiszpańskiego, niemieckiego, suahili, esperanto. Wiadomo, że każdego j_{}ezyka uczy si_{}e co najmniej połowa osób. Wykazać, że istniej _{}a dwa j_{}ezyki, oraz grupa licz _{}aca co najmniej \frac{1}{5} osób, że każda z osób z tej grupy uczy si_{}e obu tych j_{}ezyków.

3. Trójk _{}at ABC jest wpisany w okrag o_{1}. Styczna do tego okr_{}egu w punkcie C przecina prost _{}a AB w punkcie D. Okr _{}ag o_{2}, styczny do prostej AB w punkcie D, przechodzi przez punkt C i przecina okrag o_{1} w różnych punktach C i E. Wykazać, że

\frac{EA}{EB} = (\frac{AC}{BC})^{3}