Baltic Way

24.03.2009

1. Znajdź wszystkie takie liczby całkowite dodatnie n, że liczba 3^{n} + 1 jest podzielna przez n^{2}.

2. Dyrektor wykrył w swoim wydziale 6 spisków. Każdy z nich został zawi _{}azany przez dokładnie 3 osoby. Dowieść, że dyrektor może podzielić wydziału na dwa laboratoria w taki sposób, aby żadna spiskuj _{}aca grupa nie znalazła si_{}e cała w jednym laboratorium.

3. Środkowe trójk _{}ata ABC przecinaj _{}a si_{}e w punkcie M. Prosta t przechodz _{}aca przez punkt M przecina okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC w punktach X i Y, przy czym punkty A i C leż _{}a po tej samej stronie prostej t. Dowieść, że:

BX · BY = AX · AY + CX · CY

4. Wyznaczyć wszystkie takie funkcje f określone na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych

różnych od zera, że:

f(1) = 1

f(\frac{1}{x + y} ) = f(\frac{1}{x}) + F (\frac{1}{y})

(x + y)f(x + y) = xyf(x)f(y)

5. Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c, d spełniona jest nierówność:

\frac{a + c}{a + b} + \frac{b + d}{b + c} + \frac{c + a}{c + d} + \frac{d + b}{d + a} 4

6. W trójk _{}acie ABC punkty D i E leż _{}a odpowiednio na bokach AB i AC. Proste BE i CD przecinaj _{}a si_{}e w punkcie F. Wykazać, że jeżeli

BC^{2} = BD · BA + CE · CA

to punkty A, D, F, E leż _{}a na jednym okr_{}egu.