Zadania z Zeszytu...

24.02.2009

1. Dany jest trójk _{}at ostrok _{}at ostrok _{}atny ABC. Niech o_{1} i o_{2} b_{}ed _{}a odpowiednio okr_{}egami o średnicach AB i AC. Wysokość trójk _{}ata ABC poprowadzona z wierzchołka B przecina okr _{}ag o_{2} w punktach P i Q, zaś wysokość trójk _{}ata ABC poprowadzona z wierzchołka C przecina okr _{}ag o_{1} w punktach M i N. Dowieść, że punkty M, N, P, Q leż _{}a na jednym okr_{}egu o środku w punkcie A.

2. Obliczyć sum_{}e:

\frac{1 · 2!}{2}+ \frac{2 · 3!}{2^{2}}+ \frac{3 · 4!}{2^{3}}+ ⋯\frac{n · (n + 1)!}{2^{n}}

3. Liczby a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} b_{1}, b_{2}, ⋯, b_{n} s _{}a dodatnie i spełniaja warunek:

∑_{k=1}^{n} a_{k} = ∑_{k=1}^{n} b_{k}

Udowodnić, że:

∑_{k=1}^{n} \frac{a_{k}^{2}}{a_{k} + b_{k}} \frac{1}{2} · ∑_{k=1}^{n} a_{k}

4. Danych jest 2n punktów leż _{}acych na okr_{}egu. Niech T_{n} oznacza liczb_{}e sposobów na ile można te punkty połaczyć n odcinkami tak, aby żadne dwa nie miały punktów wspólnych. Przyjmujemy T_{0} = 1. Udowodnić:

T_{n+1} = ∑_{k=0}^{n} T_{k} · T_{n−k}

5. W Warszawie żyje 12 samotnych matexów. Każdy z nich ma własne mieszkanie w innej dzielnicy Warszawy. Ludzie z matexu maj _{}a mało wyobraźni, wi_{}ec ich mieszkania s _{}a albo całe białe, albo całe zielone. Pomi_{}edzy niektórymi sposród nich zawi _{}azaly sie przyjaźnie. Ponieważ samotne matexy nie chc _{}a być samotne wi_{}ec wymyśliły nast_{}epuj _{}acy pomysł: Każdy miesi _{}ac jest przypisany do jednego spośród nich. Każdy matex w ’swoim’ miesi _{}acu zaprasza do swojego mieszkania swoich przyjaciół. Wtedy rozpoczyna si_{}e impreza, która trwa aż do końca miesi _{}aca (wspaniała perspektywa). Na koniec imprezy właściciel mieszkania zmienia kolor ścian jeżeli ponad połowa jego przyjaciół ma inny kolor ścian niż on. Udowodnić, że w pewnym momencie nikt już nie b_{}edzie mógl przemalować swoich ścian.

6. Okr _{}ag S_{1} jest styczny do boków k _{}ata ABC w punktach A i C. Okr _{}ag S_{2} jest styczny do prostej AC w punkcie C i przechodzi przez punkt B. Okr _{}ag S_{2} przecina okr _{}ag S_{1} w punkcie M róznym od C. Udowodnić, że AM połowi odcinek BC.

7. Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele trójek naturalnych liczb m, n, k takich, że m^{2}n^{2} + m^{2} + n^{2} = k^{2}