Ceva i Menelaos

18.02.2009

1. Udowodnić twierdzenie Van Aubela: Jeśli punkty P, Q, R leż _{}a odpowiednio na bokach BC, CA, AB trójk _{}ata ABC tak, że proste AP, BQ, CR przecinaj _{}a się w punkcie S, to zachodzi równość:

\frac{AS}{SP} = \frac{AQ}{QC} + \frac{AR}{RB}.

2. Udowodnić trygonometryczn _{}a wersję twierdzenia Cevy: Jeśli punkty P, Q, R leż _{}a odpowiednio na bokach BC, CA, AB trójk _{}ata ABC, to proste AP, BQ, CR przecinaj _{}a się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość:

\frac{sin∠BAP}{sin∠P AC} · \frac{sin∠ACR}{sin∠RCB} · \frac{sin∠CBQ}{sin∠QBA} = 1.

3. Pokazać, że symediany w trójk _{}acie ABC przecinaj _{}a się w jednym punkcie (symediana poprowadzona z wierzchołka A jest odbiciem środkowej względem dwusiecznej poprowadzonych z wierzchołka A).

4. W trójk _{}acie ABC proste AK i BL s _{}a dwusiecznymi k _{}atów wewnętrznych przy wierzchołkach odpowiednio A i B, natomiast prosta CM jest dwusieczn _{}a k _{}ata zewnętrznego przy wierzchołku C (M ∈ AB). Pokazać, że K, L, M s _{}a współliniowe.

5. Na zewn _{}atrz trójk _{}ata ostrok _{}atnego ABC zbudowano takie podobne trójk _{}aty równoramienne ABR, BCP i CAQ, że AR = RB, BP = P C oraz CQ = QA. Pokazać, że proste AP, BQ i CR przecinaj _{}a się w jednym punkcie.

6. Z wierzchołka C k _{}ata prostego trójk _{}ata ABC poprowadzono wysokość CK, a w trójk _{}acie CKA poprowadzono dwusieczn _{}a CE. Prosta przechodz _{}aca przez punkt B równoległa do CE przecina prost _{}a CK w punkcie F. Udowodnić, że prosta EF dzieli odcinek AC na połowy.