zadania różne

10.02.2009

1. Na płaszczyźnie mamy N białych i N czarnych punktów. Żadne trzy sposród tych 2N punktów nie s _{}a współliniowe. Udowodnić, że można te punkty poł _{}aczyć N nieprzecinaj _{}acymi si_{}e odcinkami, tak, aby każdy odcinek łaczył biały punkt z czarnym.

2. Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby naturalne n, dla których:

n^{n} + 1 oraz (2n)^{2n} + 1

s _{}a liczbami pierwszymi.

3. Dany jest trójk _{}at prostok _{}atny ABC. Okr _{}ag o środku na przeciwprostok _{}atnej AB przechodzi przez wierzchołek A i przecina przyprostok _{}atn _{}a BC w punktach M i N, Niech K b_{}edzie punktem symetrycznym do M wzgl_{}edem prostej AB. Wykaż, że:

KN = MC + CN

4. Niech a, b, c to dodatnie liczby rzeczywiste. Udowodnić, że:

\frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} + \frac{a + b}{c} 4(\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b})

5. Kwadrat o boku długości n dzielimy na n^{2} kwadratów jednostkowych. Wyznaczyć wszystkiie liczby naturalne n, dla których taki kwadrat można podzielić wzdłuż lini tego podziału na kwadraty, z których każy ma kraw_{}edz długości 2 lub 3.

6. Do boku CA trójk _{}ata ABC należy taki punkt D, że AB = CD oraz spełniony jest warunek ∠ACB = ∠ABD. Dwusieczna k _{}ata CAB przecina bok BC w punkcie E. Udowodnić, że odcinki AB i DE s _{}a równoległe.

7. Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich udowodnić nierówność:

\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{y^{2} + 1} + \sqrt{z^{2} + 1} \sqrt{6(x + y + z)}

8. Niech f(x) = \frac{9^{x}}{9^{x}+3} . Oblicz sum_{}e:

f(\frac{1}{1996}) + f(\frac{2}{1996}) + ... + f(\frac{1995}{1996})

9. Dane s _{}a liczby nieujemne a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6} o sumie równej 1. Wyznaczyć maksymaln _{}a wartość wyrażenia:

a_{1}a_{2}a_{3} + a_{2}a_{3}a_{4} + a_{3}a_{4}a_{5} + a_{4}a_{5}a_{6} + a_{5}a_{6}a_{1} + a_{6}a_{1}a_{2}