Szkolna Liga Zadaniowa

Seria VII

1. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n < 2501, dla których 2501 | n^{11} − 2.

2. Dany jest trójk _{}at ABC, w którym AC = BC. Punkt P leży wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC, przy czym ∠P AB = ∠P BC. M jest środkiem boku AB. Dowieść, że ∠AP M + ∠BP C = π.

3. Znaleźć najwi_{}eksz _{}a liczb_{}e naturaln _{}a n, dla której istnieje n nieujemnych liczb całkowitych x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, nie wszystkich równych zeru, takich, że dla dowolnego ci _{}agu ϵ_{1}, ϵ_{2}, …, ϵ_{n} liczb ze zbioru {−1, 0, 1}, nie wszystkich równych zeru, n^{3} nie dzieli ϵ_{1}x_{1}+ϵ_{2}x_{2}+…+ϵ_{n}x_{n}.

4. Znaleźć wszystkie wielomiany P (x) takie, że dla każdego x ∈ ℝ zachodzi

(x − 1)P (x + 1) = (x + 2)P (x)

5. Dany jest trójk _{}at ABC, w którym ∠C = π/2. Niech M b_{}edzie środkiem przeciwprostok _{}atnej AB, H spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka C, a P punktem wewn _{}atrz trójk _{}ata takim, że AP = AC. Udowodnić, że P M jest dwusieczn _{}a k _{}ata ∠BP H wtedy i tylko wtedy, gdy ∠A = π/3

6. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n, dla których istnieje k 2 dodatnich liczb wymiernych a_{1}, a_{2}, …, a_{k} takich, że a_{1} + a_{2} + … + a_{k} = a_{1} · a_{2} ⋯ a_{k} = n.

7. Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c zachodzi:

1 + \frac{3}{ab + bc + ca} \frac{6}{a + b + c}

8. Dane s _{}a dwa rozł _{}aczne zbiory 𝔸 i 𝔹, których sum _{}a jest ℕ. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n istniej _{}a takie liczby a i b wi_{}eksze od n, że {a, b, a + b} jest zawarte 𝔸 lub zawarte w 𝔹.

9. Niech liczby naturalne m i n b_{}ed _{}a takie, że NW W (m, n) + NW D(m, n) = m + n. Udowodnić, że jedna z tych liczb dzieli drug _{}a.

10. W przestrzeni dane s _{}a punkty A, B, C, D spełniaj _{}ace zależność

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = π/2

Udowodnić, że A, B, C, D s _{}a współpłaszczyznowe.