Teoria liczb (prawie)

07.10.2008

1. Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczba naturalnych n takich, że n^{2} + 1|n!

2. Znaleźć wszystkie naturalne n takie, że: n|2^{n} − 1.

3. Niech dzielniki liczby naturalnej n > 1 b_{}ed _{}a odpowiednio: 1 = d_{1} < d_{2} < ... < d_{k} = n. Niech S = d_{1}d_{2} + d_{2}d_{3} + ... + d_{k−1} d_{k}. Udowodnić, że S < n^{2}. Kiedy s|n^{2} ?

4. Znaleźć sum_{}e: 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + ... + n · (n + 1) · (n + 2)

5. Liczby naturalne a i b maj _{}a t _{}a własność, że dla wszystkich n naturalnych a · 2^{n} + b jest kwadratem liczby całkowitej. Udowodnij, że a = 0

6. Znajdź wszystkie takie n naturalne, dla których istnieje m naturalne takie, że: 2^{n} − 1|m^{2} + 9

7. Na ile cz_{}eści można podzielić przestrzeń n płaszczyznami?