16.12.2008

1. W trójkacie ostrokatnym ABC punkt O jest srodkiem okręgu opisanego, zas punkt H jest punktem przecięcia wysokosci. Prosta AH przecina okrag opisany na trójkacie ABC w punkcie K różnym od A. Proste OK i BC przecinaja się w punkcie P. Punkt Q jest symetryczny do punktu P względem srodka odcinka OH. Proste AQ i BC przecinaja się w punkcie R. Dowiesć, że BP = CR

2. Dany jest trójkat ABC. Okrag o srodku w J, dopisany do trójkata ABC , jest styczny do odcinka AB w punkcie D. Prosta przechodzaca przez punkt D i prostopadła do prostej CD przecina proste AJ i BJ odpowiednio w punktach P i Q. Dowiesć, że: DP = DQ

3. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n, takich że \binom{n}{2} jest kwadratem liczby naturalnej.

4. Udowodnij, że w ciagu liczb a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{nm+1} istnieje n-elementowy podciag rosnacy (ciag a_{i_{1}} < a_{i_{2}} < ... < a_{i_{n}} taki, że i_{1} < i_{2} < ... < i_{n}) lub m-elementowy podciag malejacy.

5. Wyznaczyć wszystkie zbiory skończone S na płaszczyznie, złożone z co najmniej trzech punktów i spełniajace następujacy warunek: dla każdych dwóch różnych punktów A i B zbioru S symetralna odcinka AB jest osia symetrii zbioru S.

6. Wielomian o współczynnikach całkowitych przyjmuje wartosć 2006 dla trzech różnych argumentów całkowitych. Udowodnić, że nie przyjmuje on wartosci 2025 dla dwóch różnych argumentów całkowitych.

7. Niech a, b, c, d będa dodatnimi liczbami rzeczywistymi spełniajacymi: abcd = 1, Pokazać,

że:

\frac{1}{(1 + a)^{2}} + \frac{1}{(1 + b)^{2}} + \frac{1}{(1 + c)^{2}} + \frac{1}{(1 + d)^{2}} 1