13.01.2009

1. Udowodnij, że w każdym podzbiorze n + 1 - elementowym zbioru 1, 2, ..., 2n istnieja dwie takie liczby, że jedna dzieli druga.

2. Na bokach BC, CA, AB trójkata ABC zbudowano, po jego zewnetrznej stronie, trójkaty BCD, CAE ABF takie, ze

∠CAE = ∠F AB, ∠F BA = ∠DBC, ∠DCB = ∠ECA

Dowiesc, ze proste AD BE CF przecinaja sie w jednym punkcie.

3. Niech n ∈ ℕ_{+} . Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb k ∈ ℕ_{+} , takich że: n|1^{n} + 2^{n} + ⋯+ k^{n}

4. Niech a, b, c to takie liczby rzeczywiste dodatnie, że: abc = 1. Udowodnić:

\frac{1}{a^{3}(b + c)} + \frac{1}{b^{3}(c + a)} + \frac{1}{c^{3}(a + b)} \frac{3}{2}

5. Wykaz, ze jesli x_{1}, y_{1} jest rozwiazaniem rownania Pella x^{2} − dy^{2} = 1 (d ∈ ℕ, d- liczba bezkwadratowa), to ciag par x_{n}, y_{n}, okreslony nastepujaco:

x_{n} + y_{n} \sqrt{d} = (x_{1} + y_{1}\sqrt{d})^{n}, n = 1, 2, …

spelnia to rownanie.

6. Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych m i n liczba:

\frac{((mn)!)^{2}}{(m!)^{n+1} (n!)^{m+1}}

jest całkowita.

7. W trójkacie ABC dwusieczna kata ACB przecina bok AB w punkcie D. Symetralna odcinka CD przecina prosta AB w punkcie E. Wykazać, że:

\frac{EA}{EB} = \frac{AC^{2}}{BC^{2}}