Róźności

wtorek, 4 listopada 2008

1. Dany jest 101-elementowy zbiór liczb całkowitych. Udowodnić, że suma pewnego niepustego podzbioru jest podzielna przez 101.

2. funkcja f : ℝ → ℝ jest ci _{}agła i spełnia równanie funkcyjne:

f ( \frac{x+y}{x−y} ) = \frac{f(x)+f(y)}{f(x)−f(y)} dla x ≠ y Wyznaczyć t_{}e funkcj_{}e.

3. S jest środkiem okr_{}egu wpisanego w trójkat ABC, T jest środkiem okr_{}egu dopisanego do tego trójk _{}ata, stycznego do boku AC, P jest środkiem odcinka ST. Wykazać, że na czworok _{}acie ABCP można opisać okr _{}ag.

4. Na każdym polu nieskończonej szachownicy napisano liczb_{}e całkowit _{}a, przy czym kaźda napisana liczba wyst_{}epuje na tej szachownicy tylko raz. Dowieść, ze dla dowolnej liczby rzeczywistej a istniej _{}a takie dwa s _{}asiednie pola szachownicy, źe róźnica liczb napisanych na tych polach jest wi_{}eksza niz a.

5. Udowodnij, ze równanie diofantyczne x^{4} + y^{4} = z^{2} nie ma rozwi _{}azań różnych od zera.

6. Dany jest trójk _{}at równoboczny pomalowany dwoma kolorami. Udowodnić, że da si_{}e w ten trójk _{}at wpisać trójk _{}at prostok _{}atny o wierzchołkach w tym samym kolorze.

7. Udowodnić, że 2^{2^{n}} + 2^{2^{n−1}} + 1 ma przynajmniej n czynników pierwszych

8. a, b całkowite dodatnie, ab+1 dzieli a^{2}+b^{2}. Dowieść, ze (a^{2}+b^{2})/(ab+1) jest kwadratem liczby całkowitej.