Róźności

wtorek, 4 listopada 2008

1. Na bokach BC i AC trójk _{}ata ABC wybrano odpowiednio punkty D i E. Punkt F jest punktem przeci_{}ecia odcinka DE i dwusiecznej k _{}ata przy wierzchołku C. Dowieść, że jeśli BD=DF oraz AE=EF, to punkt F jest środkiem okr_{}egu wpisanego w trójk _{}at ABC.

2. Znajdż wszystkie dodatnie liczby a i b, takie że: \frac{a^{2}+b}{b^{2}−a} i \frac{b^{2}+a}{a^{2}−b} s _{}a obie całkowite.

3. Czworok _{}at wypukły ABCD podzielono na dziewi_{}eć czworok _{}atów wypukłych, jak pokazano na rysunku. Wykazać, że jeśli w zacieniowane czworok _{}aty można wpisać okr_{}egi to proste AX,BY,CZ,DT przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

4. Dany jest czworościan ABCD. Niech O b_{}edzie środkiem okr_{}egu opisanego na ABC. Sfera o środku w O i przechodz _{}aca przez A,B,C przecina kraw_{}edzie DA,DB,DC po raz drugi w punktach odpowiednio A’,B’,C’. Udowodnić, że płaszczyzny styczne do tej sfery w punktach A’,B’,C’ przechodz _{}a przez środki sfery opisanej na DA’B’C’.

5. a, b, c ∈ ℝ^{+} . Pokaż, że: \sqrt{\frac{a^{3}}{a+b}} + \sqrt{\frac{b^{3}}{b+c}} + \sqrt{\frac{c^{3}}{c+a}} \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}

6. Dane naturalne n. Dany jest dzielnik d. n ma k dzielników nie przekraczaj _{}acych d. Czy wystarczy sprawdzić podzelność d przez pierwsze ⌈k/2⌉ dzielników n, żeby przekonać si_{}e czy d jest pierwsze?

7. Na stole znajduj _{}a si_{}e 2003 ciastka. Dwóch graczy wykonuje ruchy jeden po drugim. Ruch polega na zjedzeniu jednego ciastka lub połowy ciastek znajduj _{}acych si_{}e na stole (podłoga z połowy). Co najmniej jedno ciastko musi zostać zjedzone w jednym ruchu. Przegrywa ten kto zje ostatnie ciastko. Kto ma strategi_{}e wygrywaj _{}ac _{}a?

8. Niech n 2 i d 1 b_{}ed _{}a takimi liczbami całkowitymi, że d|n i niech x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n} b_{}ed _{}a takimi liczbami rzeczywistymi, że x_{1} + x_{2} + ⋯+ x_{n} = 0. Dowieść, ze istnieje co najmniej \binom{n−1}{d−1} możliwości wyboru d indeksów 1 i_{1} < i_{2} < ⋯< i_{d} n, takich, że x_{i_{1}} + x_{i_{2}} + ⋯+ x_{i_{d}} 0