Kółeczko na pocz _{}atek roku

wtorek, 6 stycznia 2009

1. Funkcja φ(x, y, z) zdefiniowana dla trójek (x, y, z) ∈ ℝ jest taka, że istniej _{}a funkcje f, g zdefiniowane dla wszystkich par liczb rzeczywistych: φ(x, y, z) = f(x + y, z) = g(x, y + z) dla x, y, z ∈ ℝ Pokaż, że istnieje funkcja h jednej zmiennej rzeczywistej spełniaj _{}aca: φ(x, y, z) = h(x + y + z) dla każdego x, y, z ∈ ℝ

2. Dwusieczne ∠CAB i ∠ABC trójk _{}ata △ABC przecinaj _{}a odpowiednio BC i CA w punktach D i F. Proste AD,BF przecinaj _{}a prost _{}a równoległ _{}a do AB i przechodz _{}ac _{}a przez C odpowiednio w punktach E i G. FG=DE. Udowodnij, że CA=CB.

3. r_{1}, r_{2}, ⋯, r_{n} 1 Udowodnij, że: ∑ _{i=1}^{n} \frac{1}{r_{i}+1} \frac{n}{1+ \sqrt[n]{r_{1}r_{2}··· r_{n}}}

4. Niech a, n b_{}ed _{}a dodatnimi liczbami całkowitymi, zaś p nieparzyst _{}a liczb _{}a pierwsz _{}a. Udowodnić, że jeśli p^{α} (α ∈ ℕ) jest najwyższ _{}a pot_{}eg _{}a p dziel _{}ac _{}a a − 1, to dla każdej liczby całkowitej β 0, p^{α+β} |a^{n} − 1 wtedy i tylko wtedy, gdy p^{β}|n.

5. Niech P b_{}edzie punktem wewn _{}atrz ABC takim, że:

∠AP B − ∠ACB = ∠AP C − ∠ABC

Niech D i E b_{}ed _{}a środkami okr_{}egów wpisanych w AP B i AP C odpowiednio. Pokazać, że proste AP, BD, CE przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

6. Czy istnieje liczba, której sześcian równa si_{}e 3n^{2} + 3n + 7, n ∈ ℕ