Zadania z IMO i inne :-)

wtorek, 25 listopada 2008

1. Udowodnij, że dla liczby pierwszej p istnieje dzielnik pierwszy q liczby \frac{p^{p}−1}{p−1} , taki że nie ma takiego n ∈ ℕ, żeby zachodziło n^{p} ≡ p(modq)

2. Ci _{}ag a_{0}, a_{1}, a_{2}, ⋯zdefiniowany jest nast_{}epuj _{}aco: a_{0} = 2, a_{k+1} = 2a_{k}^{2} − 1. Udowodnij, że jeśli istnieje nieparzysty dzielnik pierwszy p, przystaj _{}acy do 1 lub 11 modulo 12, liczby a_{n} to 2^{n+3} |p^{2} − 1.

3. Niech ABCD b_{}edzie czworok _{}atem wpisanym w okr _{}ag, a P,Q,R niech b_{}ed _{}a spodkami wysokości z punktu D odpowiednio na proste BC,CA,AB. Pokaż, że PQ=QR, wtedy i tylko wtedy, gdy dwusieczne k _{}atów ABC i ADC przecinaj _{}a si_{}e na prostej AC.

4. Niech A b_{}edzie 101-elementowym podzbiorem zbioru S = {1, 2, …, 10^{6}}. Pokaż, że istniej _{}a liczby t_{1}, t_{2}, …, t_{100} w S, takie że zbiory A_{j} = {x+t_{j}, x ∈ A}, gdzie j = 1, 2, …, 100, s _{}a parami rozł _{}aczne.

5. Punkt P leż _{}acy wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC spełnia: ∠CBP = ∠CAP = 1/3(∠CBA + ∠CAB). Udowodnij, że \frac{BC}{AC+P B} = \frac{AC}{BC+P A} .

6. Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb a,b,c zachodzi:

\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} 3/2 ∗ \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}

7. Wielomian W stopnia 2008 o współczynnikach rzeczywistych spełnia warunek W (n) = \frac{n^{2}}{n+1} dla n = 0, 1, …, 2008. Udowodnij, że

W (2009) = 2008

.