Stare Zwardonie 1 i inne

wtorek, 9 grudnia 2008

1. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC punkt O jest środkiem okr_{}egu opisanego, zaś punkt H jest punktem przeci_{}ecia wysokości. Prosta AH przecina okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC w punkcie K różnym od A. Proste OK i BC przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Punkt Q jest symetryczny do punktu P wzgl_{}edem środka odcinka OH. Proste AQ i BC przecinaj _{}a si_{}e w punkcie R. Dowieść, że BP = CR

2. Wyznaczyć wszystkie wielomiany P o współczynnikach rzeczywistych, spełniaj _{}ace dla każdej liczby rzeczywistej x zależność:

P (x^{2}) = P (x) · P (x + 2)

3. Niech x, y, z > 0. Udowodnić, że:

\frac{xyz}{(1 + 3x)(x + 8y)(y + 9z)(z + 6)} \frac{1}{7^{4}}

Określić, kiedy zachodzi równość.

4. Dany jest trójk _{}at ABC. Okr _{}ag o środku w J, dopisany do trójk _{}ata ABC , jest styczny do odcinka AB w punkcie D. Prosta przechodz _{}aca przez punkt D i prostopadła do prostej CD przecina proste AJ i BJ odpowiednio w punktach P i Q. Dowieść, że: DP = DQ

5. Wyznaczyć wszystkie zbiory skończone S na płaszczyźnie, złożone z co najmniej trzech punktów i spełniaj _{}ace nast_{}epuj _{}acy warunek: dla każdych dwóch różnych punktów A i B zbioru S symetralna odcinka AB jest osi _{}a symetrii zbioru S.

6. Udowodnić, że jeśli liczba jest reszt _{}a kwadratow _{}a dla każdej liczby pierwszej p to jest kwadratem liczby naturalnej.

7. W kółeczku leży n + 1 pudełek. Na pocz _{}atku w jednym jest n cukierków. Ruch polega na wybraniu dowolnych dwóch pudełek (można wybrać dwa razy to samo pudełko) i przeniesieniu po jednym cukierku do wybranego s _{}asiada każdego z dwóch pudełek. Znajdź n, że da si_{}e tak wykonać ruchy, by w każdym pudełku był jeden cukierek, oprócz pudełka, w którym cukierki były na pocz _{}atku.