Kongruencje

17.12.2008

1. Liczby całkowite k, m, n spełniaj _{}a równanie:

\frac{m}{n} = \frac{k^{2} + m^{2}}{k^{2} + n^{2}}

oraz warunek: k^{2} + m^{2} + n^{2} jest liczb _{}a pierwsz _{}a. Dowieść, że m = n.

2. Udowodnić, że dla liczby pierwszej p różnej od 2 i 5 liczba:

\underbrace{11 …1}_{p} \underbrace{22 …2}_{p}… \underbrace{99 …9}_{p}

daje resztę 12 …9 z dzielenia przez p.

3. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje taka liczba całkowita dodatnia n, dla której liczba 7^{n} − 1 podzielna jest przez 6^{n} − 1.

4. Wyznaczyć wszystkie trójki liczb pierwszych takich, że liczby:

pq + r, pq + r^{2}, qr + p, qr + p^{2}, rp + q , rp + q^{2}

też s _{}a pierwsze.

5. Niech S(k) oznacza sumę cyfr liczby k. Znaleźć wszystkie n ∈ ℕ, dla których S(2n^{2}+3) jest kwadratem liczby naturalnej.

6. Liczby całkowite dodatnie a, b, c, d spełniaj _{}a równość ad = b^{2} + bc + c^{2}. Udowodnić, że a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} jest liczb _{}a złożon _{}a.