Nierównosci

28.10.2008

1. Niech a, b, c będa dodatnimi liczbami rzeczywistymi spełniajacymi warunek:

ab + ac + bc + 2abc = 1

Udowodnić: abc \frac{1}{8}

2. Dla dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c udowodnić:

\frac{1}{a + b + 1} + \frac{1}{a + c + 1} + \frac{1}{b + c + 1} 1 ⇒ a + b + c ab + ac + bc

3. Niech a, b, c będa dodatnimi liczbami rzeczywistymi spełniajacymi warunek: ab + ac + bc = 1. Udowodnić:

a^{2} + b^{2} + c^{2} − a^{2}b^{2}c^{2} \frac{26}{27}

4. Dla dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c udowodnić:

\frac{a}{(b + c)^{2}} + \frac{b}{(c + a)^{2}} + \frac{c}{(a + b)^{2}} \frac{9}{4(a + b + c)}

5. Dla dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c udowodnić:

(a^{2} + b^{2})^{2} (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(−a + b + c)

6. Niech a, b, c będa dodatnimi liczbami rzeczywistymi spełniajacymi warunek:

a + b + c = 1. Udowodnić:

a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2\sqrt{3abc} 1

7. Dla dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c ∈ (0, 1) udowodnić:

\sqrt{abc}+ \sqrt{(1 − a)(1 − b)(1 − c)} < 1