Różne różności i nieróżności- kontynuacja

Zadanie 1. Niech p b_{}edzie nieparzyst _{}a liczb _{}a pierwsz _{}a. Pokazać, że jeżeli dla pewnego n zachodzi

p|n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1

to dla pewnego m mamy p|m^{2} − 5 Zadanie 2. Każdy z wektorów α_{1}, α_{2}, ..., α_{n} ma długość 1. Pokazac, że w wyrażeniu

β = ±α_{1} ± α_{2} ± ... ± α_{n}

można tak dobrać znaki aby |β| \sqrt{2}. Zadanie 3. Niech ω b_{}edzie okr_{}egiem o środku w O, a AB i CD jego prostopadłymi ci_{}eciwami przecinaj _{}acymi si_{}e w punkcie Q. Proste AC i BD przecin _{}aj _{}a si_{}e w P. Niech S_{1} b_{}edzie punktem przeci_{}ecia prostych AB i P Q zaś S_{2} punktem przeci_{}ecia si_{}e prostych CD i P Q. Pokazać, że prosta P Q jest styczna do okr_{}egu opisanego na S_{1}S_{2}Q. Zadanie 4. Pokazać, że dla nieskończenie wielu złożonych n zachodzi n|3^{n−1} − 2^{n−1} Zadanie 5. Niech a_{k}- dodatnie, oraz a_{n+1} = a_{1}. Pokazać, że

2 ∑_{k=1}^{n} \frac{a_{k}^{2}}{a_{k} + a_{k+1}} ∑_{k=1}^{n} a_{k}

Zadanie 6. Niech x, y b_{}ed _{}a takimi dodatnimi liczbami naturalnymi, że 2x^{2} + x = 3y^{2} + y. Pokazać, że wówczas x − y jest kwadratem liczby naturalnej. Zadanie 7. Wielomian P (x) = x^{n} + a_{n−1} x^{n−1} + ... + a_{1}x + 1 o nieujemnych współczynnikach posiada n pierwiastków rzeczywistych. Pokazać, że P (2) 3^{n}