Wiatr od wschodu

Zadanie 1. Niech ABCD b_{}edzie trapezem (AB||CD). Obierzmy F ∈ AB taki, że DF = CF. Niech E b_{}edzie punkttem przeciecia AC i BD i niech O_{1}, O_{2}-środki okr_{}egów opisanych na ADF i BCF. Pokoazać, że O_{1}O_{2} i EF s _{}a prostopadłe.

Zadanie 2. Niech ABCD b_{}edzie wypukłym czworok _{}atem takim, że ∠DAB = ∠ABC = ∠BCD. Niech H, O b_{}ed _{}a odpowiednio ortocentrum i środkiem okr_{}egu opisanego na ABC. Pokazać, że H, O, D s _{}a współliniowe.

Zadanie 3. Pokazać, że równanie

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 3(x + y + z) + 5 = 0

nie posiada rozwi _{}azań w liczbach wymiernych.

Zadanie 4. Znale”xć wszystkie funkcje ci _{}agłe f : R → R takie, że dla każdego x ∈ R zachodzi:

f(x) = f ( x^{2} + \frac{1}{4})

Zadanie 5. Na płaszczyźnie danych jest 111 wektorów jednostkowych o sumie równej 0. Pokazać, że istnieje wśród nich 55 wektożow, których suma ma długość mniejsz _{}a od 1.

Zadanie 6. Niech A b_{}edzie symetryczn _{}a macierz _{}a zero-jedynkow _{}a (czyli A_{ij} = A_{ji} ), przy czym dla każdego i mamy A_{ii} = 1. Pokaźać,że istnieje podzbiór wierszy, których suma jest wektorem o w szystkich współrz_{}ednych nieparzystych.

Zadanie 7. Niech n 2 b_{}edzie liczb _{}a naturaln _{}a i niech P (x) = x^{n} + a_{n−1} x^{n−1} + ... + a_{1}x + 1. Załóżmy, że a_{k} = a_{n−k} dla k = 1, 2, ..., n − 1. Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele par dodatnich liczb całkowitych x, y takich, że y|P (x) i x|P (y).