Olimpiada Iberoamerykańska - ale nie tylko

Zadanie 1. Dany jest kwadrat ABCD. Punkty P i Q (różne od wierzchołków kwadratu) zostały obrane na bokach BC i CD tak, że BP = CQ. X i Y s _{}a punktami odpowiednio na AP i AQ. Pokazać, że z odcinków BX, XY, Y D da si_{}e skonstruować trójk _{}at.

Zadanie 2. Znaleźć najmniejsz _{}a liczb_{}e naturaln _{}a n, tak _{}a że w każdym n-elementowym podzbiorze zbioru {1, 2, ..., 999} istniej _{}a cztery różne liczby dla których a + 2b + 3c = d.

Zadanie 3. Znaleźć wszystkie funkcje f : N^{N} takie, że

(1) jeśli x < y to f(x) < f(y),

(2) f(yf(x)) = x^{2}f(xy).

Zadanie 4. W skończonym ci _{}agu liczb rzeczywistych suma dowolnych iedmiu kolejnych wyrazów jest ujemna, natomiast suma dowolnych jedenastu kolejnych wyrazów jest dodatnia. Wyznaczyć najwi_{}eksza możliw _{}a ilośc elementów w tym ci _{}agu.

Zadanie 5. Niech x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} b_{}ed _{}a liczbami dodatnimi. Pokazać, że

\frac{x_{1}^{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}x_{3}} + \frac{x_{2}^{2}}{x_{2}^{2} + x_{3}x_{4}} + ... + \frac{x_{n−1}^{2}}{x_{n−1}^{2} + x_{n}x_{1}} + \frac{x_{n}^{2}}{x_{n}^{2} + x_{1}x_{2}} n − 1

Zadanie 6. Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele trójek dodatnich liczb całkowitych m, n, p takich że 4mn−m−n = p^{2}−1, a także, że nie istniej _{}a dodatnie liczby całkowite m, n, p dla których 4mn−m−n = p^{2}.

Zadanie 7. Niech okr _{}ag wpisany w trójk _{}at ABC jest styczny do jego boków BC, CA, AB w punktach odpowiednio D, E, F. Niech X, Y, Z b_{}ed _{}a środkami boków odpowiednio EF, F D, DE. Pokazać ,że środki: okr_{}egu wpisanego oraz okr_{}egów opisanych na XY Z i ABC s _{}a współliniowe.