Kółko na dobry pocz _{}atek nowego roku

Zadanie 1 Niech O b_{}edzie punktem na prostej l, a OP_{1}, OP_{2}, ..., OP_{n} wektorami jednostkowymi takimi, że punkty P 1, P_{2}, ..., P_{n} i prosta l leż _{}a na tej samej płaszczyznie oraz wszystkie punkty P_{i} na tej samej półpłaszczyznie wyznaczonej przez l. Pokazać, że jeżeli n jest nieparzyste to

|OP_{1} + OP_{2} + ... + OP_{n}| 1

Zadanie 2 Niech P_{1}(x) = x^{2}−2, P_{j} (x) = P_{1}(P_{j−1} (x)) dla j = 2, 3, .... Pokazać, że dla dowolnego n wszystkie pierwiastki równania P_{n}(x) = x s _{}a rzeczywiste i parami różne.

Zadanie 3 Maj _{}ac

1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + ... − \frac{1}{1318} + \frac{1}{1319} = \frac{p}{q}

gdzie p, q s _{}a naturalne,wzgl_{}ednie pierwsze, pokazać, że p jest podzielne przez 1979

Zadanie 4 Na płaszczyznie dane s _{}a dwa okr_{}egi. Niech A b_{}edzie jednym z punktów przeci_{}ecia tych dwóch okr_{}egów. Dwa punkty jednocześnie zaczynaj _{}a sie poruszać ,każdy po własnym okr_{}egu, startuj _{}ac z punktu A. Punkty te wracaj _{}a z powrotem do A po tym samym czasie. Pokazać, że istnieje punkt P z tej płaszczyzny, taki, że w dowolnej chwili odległości P od ruchomych punktów s _{}a równe.

Zadanie 5 Dany jest punkt P na płaszczyznie π jak również punkt Q nienależ _{}acy do π. Znaleźć wszystkie punkty R z płaszczyzny π maksymalizuj _{}ace \frac{QP +P R}{QR} .

Zadanie 6 Niech f(n) b_{}edzie funkcj _{}a N^{+} → N^{+} . Załóżmy, że f(f(n) + f(m)) = n + m dla wszystkich wartości n, m. Znaleźć wszystkie możliwe wartości f(1988).

Zadanie 7 Niech f(n, r) b_{}edzie średni _{}a arytmetyczn _{}a minimów wszystkich r−elementowych podzbiorów zbioru \{1, 2, ..., n\}. Pokazać, że f(n, r) = \frac{n+1}{r+1}