Zadania z Baltic Wayów - porcja II

Zadanie 1. Znaleźć wszystkie trójki dodatnich liczb całkowitych takich, że

a + b = gcd(a, b)^{2}
a + c = gcd(a, c)^{2}
b + c = gcd(b, c)^{2}

.

Zadanie 2. Niech x, y b_{}ed _{}a dodatnimi liczbami całkowitymi oraz niech z = \frac{4xy}{x+y} b_{}edzie nieparzyst _{}a liczb _{}a naturaln _{}a. Pokazać, że co najmniej jeden z dzielników z przystaje do 3 modulo 4.

Zadanie 3. Prostok _{}atna tablica ma n wierszy i 6 kolumn, przy czym n > 2. W każdej komórce wpisane jest 0 albo 1. Wszystkie rz_{}edy s _{}a parami różne. Dla dowolnych dwóch rz_{}edów (x_{1}, x_{2}, ..., x_{6}) i (y_{1}, y_{2}, .., y_{6}) rz _{}ad (x_{1}y_{1}, x_{2}y_{2}, ...x_{6}y_{6}) również znajduje si_{}e w tej macierzy. Pokazać, że istnieje kolumna w której co najmniej połowa liczb to zera.

Zadanie 4. Niech K, N - dodatnie liczby całkowite, przy czym 1 K N. Talia N różnych kart jest tasowana poprzez powtarzanie czynności polegaj _{}acej na odwróceniu kolejności K kart z góry talii i przełożeniu ich na spód talii. Pokazać, że karty wróc _{}a do porz _{}adku wyjściowego nie później niż po \frac{4N^{2}}{K^{2}} krokach.

Zadanie 5. Dany jest zbiór S czterech różnych punktów na płaszczyźnie. Dla każdego punktu X ∈ S pozostałe mog _{}a być nazwane W, Y, Z w taki sposób, że |XY | = |XZ| + |XW |. Pokazać, że te cztery punkty leż _{}a na jednej prostej.

Zadanie 6. Punkty A, B, C, D, E leż _{}a na okr_{}egu c w takim porz _{}adku i spełniaj _{}a AB||EC i AC||ED. Prosta styczna do c w punkcie E przecina AB w punkcie P. Proste BD i EC przecinj _{}a si_{}e w Q. Pokazać, że AC = P Q

Zadanie 7. Maj _{}ac dany romb ABCD znajdź miejsce geometryczne punktów P leż _{}acych wewn _{}atrz ABCD i spełniaj _{}acych ∠AP D + ∠BP C = 180^{0}.