Zadania z shortlist - raczej miłe

Zadanie 1. Niech f : N^{N} b_{}edzie funkcj _{}a spełniaj _{}ac _{}a nierównóść

f(n + 1) > f(f(n))

. Pokazać, że f(n) = n dla wszystkich naturalnych n.

Zadanie 2. Znaleźć wszystkie wielomiany w ∈ R[x] dla których zachodzi

w(x)w(2x^{2}) = w(2x^{3} + x)

Zadanie 3. Niech P b_{}edzie takim punktem wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC, że ∠P AC = ∠P BC. Prostopadłe opuszczone z punktu P na proste BC i CA przecinaj _{}a je odpowiednio w punktach L i M. Oznaczmy środek AB przez D. Pokazać, że DL = DM.

Zadanie 4. Dany jest zbiór M złożony z 1985 dodatnich liczb całkowitych, z k”torych żadna nie ma dzielnika pierwszego wi_{}ekszego niż 26. Pokazać, że w zbiorze tym istniej _{}a 4 różne elementy, których średnia geometryczna jest liczb _{}a całkowit _{}a.

Zadanie 5. Okr _{}ag o środku O przechodzi przez punkty A i C, oraz przecina boki AC i BC trójk _{}ata ABC w punktach K i N. Okr_{}egi opisane na trójk _{}atach ABC i KBN przecinaj _{}a si_{}e w dwóch różnych punktach B i M. Pokazać, że ∠OMB = 90^{0}

Zadanie 6. Dla jakich liczb natutalnych n > 2 istnieje n-k _{}at foremny którego wszystkie wierzchołki s _{}a punktami kratowymi?

Zadanie 7. Niech n > 6 i niech a_{1} < a_{2} < ... < a_{k} b_{}ed _{}a wszystkimi liczbami naturalnymi wzgl_{}ednie pierwszymi z n i mniejszymi od n. Pokazac, re jeżeli liczby te tworz _{}a ci _{}ag arytmetyczny to n jest pierwsze albo jest pot_{}eg _{}a dwójki.