Elementarne zadania z Putnamu

Zadanie 1. Pokazać, że

∏_{i=1}^{n} nww(1, 2, ..., [ \frac{n}{i}]) = n!

Zadanie 2. Ci _{}ag u_{n} jest zdefiniowany nast_{}epuj _{}aco u_{0} = 0, u_{2n} = u_{n} + u_{n−1} , u_{2n+1} = u_{n}. Pokazać, że dla dowolnej dodatniej liczby wymiernej istnieje takie n, że

\frac{u_{n}}{u_{n+1}} = k

Zadanie 3. Znaleźć wszystkie rozwi _{}azania równania

x^{n+1} − (x + 1)^{n} = 2001

w dodatnich liczbach naturalnych x, n.

Zadanie 4. Niech P b_{}edzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Ci _{}ag x_{i} definiujemy nast_{}epuj _{}aco: x_{0} = 0, x_{i+1} = P (x_{i}). Pokazać, że jeżeli dla pewnego n > 1 x_{n} = 0 to wówczas x_{1} = 0 lub x_{2} = 0.

Zadanie 5. Podzbiór zbioru {1, 2, .., n} nazwiemy ładnym, jeżeli ¶rednia arytmetyczna jego elementów jest liczb _{}a całkowit _{}a. Pokazać, że liczba ładnych podzbiorów {1, .., n} jest tej samej parzystości co n.

Zadanie 6. X jest skończonym zbiorem liczb całkowitych wi_{}ekszych od 1, takim, że dla każej liczby naturalnej n istnieje x ∈ X które albo dzieli n, albo jest wzgl_{}ednie pierwsze z n. Pokazać, że zbiór X zawiera liczb_{}e pierwsz _{}a albo 2 elementy których najwi_{}ekszy wspólny dzielnik jest liczb _{}a pierwsz _{}a.