Różne źródła - ale raczej rosyjskie

Zadanie 1. Pokazać, że dla liczb dodatnich x, y, z dla których x + y + z = 3 zachodzi

\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} xy + xz + yz

Zadanie 2. Mamy sobie szachownic_{}e 2n x 2n. Na niektórych jej polach położono biał _{}a lub czarn _{}a kulk_{}e. Wszystkie czarne kulki, które mialy jakaś biał _{}a kulk_{}e w tej samej kolumnie zostały usuni_{}ete. Nast_{}epnie wszystkie białe kulki, które miały jak _{}as z pozostałych czarnych kulek w tym samym wierszu także zostały usuni_{}ete. Pokazać, że ta krótka zabawa nie może si_{}e zakończyć z wi_{}eksz _{}a niż n^{2} ilości _{}a białych kulek i wieksz _{}a niż n^{2} ilości _{}a czarnych kulek.

Zadanie 3. Niech S b_{}edzie skończonym zbiorem liczb naturalnych, takim, że wśród dowolnej trójki elementów z S istniej _{}a 2 których suma należy do S. Ile najwi_{}ecej elementów może miec S ?

Zadanie 4. Dany jest trójk _{}at ABC. Punkt E leży na jego środkowej wychodz _{}acej z punktu C. Okr _{}ag o_{1} przechodz _{}acy przez E i styczny do boku AB w punkcie A przecina bok AC w punkcie M. Analogicznie okr _{}ag o_{2} przechodza _{}acy przez E i styczny do AB w B przecina BC w N. Pokazać, że okr _{}ag opisany na CMN jest styczny do o_{1} i o_{2}.

Zadanie 5. Cztery dodatnie liczby naturalne maj _{}a nast_{}epuj _{}ac _{}a własność. Suma kwadratów dowolnych dwóch dzieli si_{}e przez iloczyn pozostałych dwóch. Pokazać, re co najmniej 3 z tych liczb s _{}a równe.

Zadanie 6. Ci _{}ag a_{1}, a_{2}, ... dodatnich liczb całkowitych jest określony przez swoje pierwsze 2 wyrazy i zależność

a_{n+2} = \frac{a_{n} + a_{n+1}}{gcd(a_{n}, a_{n+1} )}

dla jakich a_{1}, a_{2} ci _{}ag ten jest ograniczony?