Bałkany

Zadanie 1. Znaleźć wszystkie funkcje f : R → R spełniaj _{}ace dla dowolnych x, y

f(xf(x) + f(y)) = f(x)^{2} + y

Zadanie 2. Niech S b_{}edzie zbiorem wszystkich punktów w danym trójk _{}acie (wraz z jego brzegiem). Niech T to b_{}edzie S bez jednego punktu. Pokazać, że istnieje rodzina parami rozł _{}acznych przedziałów domkni_{}etych, których suma to T.

Zadanie 3. Niech p > 5 b_{}edzie liczb _{}a pierwsz _{}a. Pokazać, że w zbiorze

A = {p − n^{2} : n^{2} < p}

istniej _{}a a, b > 1 takie, że a|b.

Zadanie 4. Dwa okr_{}egi o_{1}, o_{2} o środkach w punktach A, B s _{}a styczne zewn_{}etrznie w punkcie X. Trzeci okr _{}ag o_{3} - zawieraj _{}acy je, jest do nich styczny odpowiednio w punktach Y i Z. Prosta styczna do o_{1}, o_{2} w punkcie X tworzy ci_{}eciwe o_{3}, o środku w M. Pokazać, że ∠Y MZ = ∠ACB.

Zadanie 5 (znane). Pokazać, że w każdym skończonym grafie nieskierowanym, w którym stopień każdego wierzchołka wynosi co najmniej 3 istnieje cykl parzystej długości.

Zadanie 6. Pokazać, że dla każdego naturalnego n istnieje m > n takie, że 5^{m} powstaje przez dopisanie pewnych cyfr na końcu liczby 5^{n}

Zadanie 7. ?