Asian Pacific + Shortlisty

Zadanie 1. Pokazać, że dla dodatnich x, y, z zachodzi

\frac{x^{3}}{(1 + y)(1 + z)} + \frac{y^{3}}{(1 + x)(1 + z)} + \frac{z^{3}}{(1 + x)(1 + y)} \frac{3}{4}

Zadanie 2. Pokazać, że dla dodatnich liczb a, b, c, d zachodzi

\frac{a}{b + 2c + 3d} + \frac{b}{c + 2d + 3a} + \frac{c}{d + 2a + 3b} + \frac{d}{a + 2b + 3c} \frac{2}{3}

Zadanie 3.f jest ściśle rosn _{}ac _{}a funkcj _{}a R → R, posiadaj _{}ac _{}a funkcj_{}e odwrotn _{}a f^{−1} . Znaleźć wszystkie takie f, że dla każdego x

f(x) + f^{−1} (x) = 2x

Zadanie 4. Na płaszczyźnie danych jest 997 punktów. Wszystkie środki odcinków je ł _{}acz _{}acych pomalowano na czerwono. Pokazać, że mamy co najmniej 1991 kropek. Czy da si_{}e otrzymać dokładnie 1991 kropeczek?

Zadanie 5. Bierzemy sobie trójk _{}at o bokach a, b, c. W jednym kroku tworzymy sobie nowy trójk _{}at (o ile si_{}e da) o bokach \frac{a+b−c}{2} ,\frac{a+c−b}{2} , \frac{b+c−a}{2} . I tak w kółko. Zcharakteryzować wszystkie trójk _{}aty dla których możemy tak robić w nieskończonośc.

Zadanie 6. Dany jest trójk _{}at ABC. Niech D leży na BC, przy czym AD jest wysokości _{}a. Punkty X,Y leż _{}a na okr_{}egach ABD i ACD przy czym punkty D, X, Y s _{}a współłiniowe. M jest środkiem XY a M′ jest środkiem BC. Pokazać, że MM′ jest prostopadłe do AM.

Dobre zadanko ;-) Pokazać, że liczba (36m + n)(36n + m) nie jest nigdy pot_{}eg _{}a dwójki, dla żadnych naturalnych dodatnich m, n.