KÓŁECZKO Z NIERÓWNOŚCI (9.01.08)

1. TEORIA 1.1. a^{2} 0 czyli najpot_{}eżniejsza nierowność świata. 1.2. Nierowności średnich: niech dla danego ci _{}agu (a_{1}, a_{2}, a_{3} …a_{n}) liczb rzeczywistych do-

datnich M_{i} oznacza \sqrt[i]{\frac{a_{1}^{i}+a_{2}^{i}+...+a_{n}^{i}}{n}} . Aby było jeszcze fajniej M_{0} = \sqrt[n]{a_{1} · a_{2} · . . . · a_{n}}Wtedy dla i > j zachodzi M_{i} M_{j}. Rowność zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a_{1} = a_{2} = … = a_{n}.

1.3. Najfajniejsze z poprzedniego jest M_{−1} M_{0} M_{1} M_{2}. 1.4. Nierówność Cauchy’ego - Schwarza: dla dowolnych dwóch ci _{}agów liczb rzeczywistych

(a_{1}, a_{2}, …a_{n}), (b_{1}, b_{2}, …, b_{n}) zachodzi

(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + …a_{n}^{2}) · (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + …b_{n}^{2}) (a_{1} · b_{1} + a_{2} · b_{2} + …a_{n} · b_{n})^{2}

.

2.ZADANKA 2.1. Udowodnij, że dla wszystkich liczb rzeczywistych a, b takich że a jest różne od 0,

zachodzi a^{2} + b^{2} + \frac{1}{a^{2}} + \frac{b}{a^{2}} \sqrt{3}.

2.2. Udowodnić że dla a, b, c 0 zachodzi \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc} + \frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc} + \frac{1}{c^{3}+a^{3}+abc} \frac{1}{abc}. 2.3. Udowodnić, że dla liczb a, b, c 0, a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3 zachodzi a^{4} + b^{4} + c^{4} + a + b + c 6. 2.4. Udowodnić dla a, b, c 0 nierówność \sqrt{\frac{a^{3}}{b+c}} + \sqrt{\frac{b^{3}}{c+a}} + \sqrt{\frac{c^{3}}{a+b}} \frac{a+b+c}{\sqrt{2}} . 2.5. Udowodnić dla a, b, c 0 nierówność \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \frac{3}{2}. 2.6. Udowodnić dla liczb a, b, c 0 zachodzi a + b + c \frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ac} + \frac{c^{3}}{ab}. 2.7. Udowodnij, że dla liczb rzeczywistych dla których zachodzi a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} = 4 zachodzi

również a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} 8.