Wielomiany i zespolone

Teoria • Zasadnicze twierdzenie algebry • W (z) = 0 ⇒ W (\overline{z}) = 0

• W (x) rozkłada si_{}e na iloczyn wielomianów maxymalnie 2. stopnia

• (a^{2} + b^{2})(c^{2} + d^{2}) = (ac − bd)^{2} + (ad + bc)^{2}

1. Niech ω b_{}edzie pierwiastkiem pierwotnym stopnia p, zaś a_{0}, a_{1}, …, a_{p−1} b_{}ed _{}a liczbami całkowitymi takimi, że a_{0} + a_{1}ω + a_{2}ω^{2} + … + a_{p−1} ω^{p−1} = 0. Pokaż, że a_{0} = a_{1} = … = a_{p−1} .

2. Udowodnij, że jeśli W (x) > 0 dla każdego x ∈ ℝ, to istniej _{}a P, Q takie, że W = P^{2}(x) + Q^{2}(x).

3. Udowodnij, że jeśli W (x) > 0 dla każdego x ∈ ℝ 0, to istniej _{}a P, Q takie, że W (x) = P^{2}(x) + xQ^{2}(x).

4. Dla jakich n ∈ ℕ wielomian x^{n} + x − 1 jest podzielny przez a)x^{2} − x + 1 b)x^{3} − x + 1?

5. Udowodnij, że jeśli a + b + c = 0, to a^{2} + b^{2} + c^{2} dzieli a^{666^{n} +1} + b^{666^{n} +1} + c^{666^{n} +1} .

6. Udowodnij, że wielomian x^{2009} − x + 3 jest nierozkładalny na iloczyn niestałych wielomianów o współczynnikach całkowitych.

7. Niech W (x) = a_{n}x^{n} + …a_{1}x + a_{0} b_{}edzie wielomianem o współczynnikach całkowitych takim, że |a_{0}| jest liczb _{}a pierwsz _{}a i |a_{0}| > |a_{1}| + |a_{2}| + … + |a_{n}| Pokazać, że W (x) jest nierozkładalny.

8. Niech p > 2 b_{}edzie liczb _{}a pierwsz _{}a i P (x) = x^{p}−x+p. Udowodnij, że wszystkie pierwiastki p maj _{}a moduł mniejszy niż p^{\frac{1}{p−1}} oraz, że P jest nierozkładalny.

9. Znajdź wszystkiego wielomiany W o współczynnikach całkowitych, spełniaj _{}ace W (x)^{2} = W (x^{2})

10. Dowieść, że dla dowolnej liczby całkowitej n 1 wielomian W (x) = (x^{2} + 1^{2})(x^{2} + 2^{2}) …(x^{2} + n^{2}) + 1 nie jest iloczynem wielomianów stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych.

11. Niech a_{1}, a_{2}, …, a_{n} b_{}ed _{}a liczbami całkowitymi. Udowodnij, że wielomian W (x) = (x − a_{1})(x − a_{2}) …(x − a_{n}) − 1 jest nierozkładalny.

12. Niech p b_{}edzie nieparzyst _{}a liczb _{}a pierwsz _{}a. Znajdź liczb_{}e p-elementowych podzbiorów A zbioru {1, 2, …, 2p} takich, że suma elementów A jest podzielna przez p.

13. Niech m, n 2 b_{}ed _{}a dodatnimi liczbami całkowitymi, zaś a_{1}, a_{2}, …, a_{n} b_{}ed _{}a liczbami całkowitymi, z których żadna nie jest wielokrotności _{}a m^{n−1} . Pokaż, że istniej _{}a takie liczby całkowite e_{1}, e_{2}, …, e_{n}, żadnia nie równa zero, spełniaj _{}ace |e_{i}| < m dla wszystkich i takie, że e_{1}a_{1} + e_{2}a_{2} + … + e_{n}a_{n} jest wielokrotności _{}a m^{n}.