Mocniejsza teoria liczb

Teoria • Reszty • Wilson

• Euler

• Chińskie twierdzenie o resztach

• Rz _{}ad

1. Liczby całkowite x, y, z spełniaj _{}a warunek 7|x^{3}+y^{3}+z^{3}. Udowodnij, że 7|xyz.

2. Dana jest liczba pierwsza p > 2 oraz liczby całkowite a_{1}, a_{2}, …, a_{p}, b_{1}, b_{2}, …, b_{p}. Wykazać, że istniej _{}a 1 i < j p takie, że p|a_{i} − a_{j} lub p|b_{i} − b_{j} lub p|a_{i}b_{i} − a_{j}b_{j}.

3. Pokaż, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna M taka, że żadna z liczb 1 + M, 2 + M, …, n + M nie jest pot_{}eg _{}a liczby pierwszej.

4. GCD(F_{n}, F_{m}) = F_{GCD(n,m)}

5. Ci _{}ag liczb Fibbonacciego modulo liczba pierwsza p jest okresowy

6. GCD(a^{n} − 1, a^{m} − 1) = a^{GCD(n,m)} − 1

7. Niech n > 1 b_{}edzie nieparzyst _{}a liczb _{}a całkowit _{}a. Udowodnij, że n nie dzieli 3^{n} + 1.

8. Pokaż, że w ci _{}agu arytmetycznym aq + 1 (q ∈ ℙ) jest nieskończenie wiele liczb pierwszych.