Układy równań i równania funkcyjne

1. Rozwi _{}aż układ równań w liczbach rzeczywistych:

\{ \begin{matrix}x^{2} + 1 = 2y \\ y^{2} + 1 = 2z \\ z^{2} + 1 = 2x \end{matrix}

2. Rozwi _{}azać w liczbach rzeczywistych x, y, z układ równań:

\{ \begin{matrix}x^{2} + 2yz + 5x = 2 \\ y^{2} + 2zx + 5y = 2 \\ z^{2} + 2xy + 5z = 2 \end{matrix}

3. Rozwi _{}azać w liczbach rzeczywistych x, y, z układ równań:

\{ \begin{matrix}x^{5} = 5y^{3} − 4z \\ y^{5} = 5z^{3} − 4x \\ z^{5} = 5x^{3} − 4y \end{matrix}

4. Znaleźć wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace równość:

f(x + y) = f(x) − f(y) dla x, y ∈ ℝ

5. Funkcja f : ℝ → ℝ dla dowolnego x rzeczywistego spełnia równości: f(x) = f(2x) = f(1 − x) Dowieść, że f jest okresowa.

6. Funkcja f : ℚ → ℚ dla dowolnych x, y wymiernych spełnia równość: f(x + y) = f(x) + f(y) Pokaż, że f(x) = x

7. Funkcja f : ℝ → ℝ dla dowolnych x, y rzeczywistych spełnia równość: f(x + y) = f(x) + f(y) Pokaż, że jeśli f(x) 0 dla x 0 to f(x) = x dla każdego x ∈ ℝ

8. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ^{+} → ℝ^{+} takie, że:

f(x + y) + f(xy) = x + y + xy dla wszystkich x, y ∈ ℝ^{+}