1 Nierówności dla pierwszaków

1. \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \frac{a+b}{2} \sqrt{ab} \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}

2. \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}  \frac{a+b+c}{3}  \sqrt[3]{abc} \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}}
3. \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{4}}  \frac{a+b+c+d}{4}  \sqrt[4]{abcd} \frac{4}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} + \frac{1}{d}}
4…. \sqrt[4]{\frac{x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+...+x_{n}^{4}}{n}}  \sqrt[3]{\frac{x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+...+x_{n}^{3}}{n}}  \sqrt{\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}{n}}  \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}  \sqrt[n]{x_{1}x_{2} …x_{n}}  _{\frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} +...+ \frac{1}{xn}}}
5. \frac{a+b+c}{3}  \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}  \sqrt[3]{abc}

Nezbit \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \frac{3}{2}

6. Pokazać, że dla dowolnych a, b, c ∈ ℝ^{+} zachodzi:

a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2a + 2b + 2c 3((ab)^{\frac{2}{3}} + (bc)^{\frac{2}{3}} + (ca)^{\frac{2}{3}})

7. Pokazać, że dla x, y, z ∈ ℝ^{+} takich, że x + y + z = 1, zachodzi:

\frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} + \frac{z}{z+1} \frac{3}{4}

8. Pokazać, że dla dowolnych a, b, c ∈ ℝ zachodzi:

\sqrt{2(a^{2} + b^{2})} + \sqrt{2(b^{2} + c^{2})} + \sqrt{2(c^{2} + a^{2})} \sqrt{3(a + b)^{2} + 3(b + c)^{2} + 3(c + a)^{2}}

9. Pokazać, że dla każdych x_{1}, x_{2}, …, x_{n} rzeczywistych dodatnich zachodzi:

\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{3}} + … + \frac{x_{n}}{x_{1}} n

10. Pokazać, że dla a, b, c rzeczywistych dodatnich zachodzi:

(a + b)(b + c)(a + c) 8abc

11. Pokazać, że dla x, y, z rzeczywistych dodatnich zachodzi:

x^{3} + y^{3} + z^{3} x^{2}y + y^{2}z + z^{2}x

Czebyszew Dla rzeczywistych a_{1} a_{2} … a_{n} i b_{1} b_{2} … b_{n} zachodzi a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + … + a_{n}b_{n}

(a_{1} + a_{2} + … + a_{n})(b_{1} + b_{2} + … + b_{n})

12. Pokazać, że jeśli a, b, c s _{}a długościami boków trójk _{}ata, to:

(a + b − c)^{2} + (a − b + c)^{2} + (−a + b + c)^{2} ab + bc + ca

13. Udowodnić dla liczb a, b, c 0 zachodzi a + b + c \frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ac} + \frac{c^{3}}{ab}

14. Udowodnić, że dla liczb a, b, c 0, a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3 zachodzi a^{4} + b^{4} + c^{4} + a + b + c 6

15. Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c takich, że abc = 1 zachodzi nierówność: \frac{1}{a(1+c)} + \frac{1}{b(1+a)} + \frac{1}{c(1+b)} \frac{3}{2}.