Mecz Matematyczny, Młodsi

1. Udowodnij, że istnieje niestały ci _{}ag arytmetyczny, który nie zawiera żadnej liczby Fibbonacciego.

2. Niech p i q oznaczaj _{}a odpowiednio obwód i pole pewnego prostok _{}ata. Wykaż, że

p \frac{32q}{2q + p + 2}

3. Joasia i Onufry graj _{}a w gr_{}e, podczas której na przemian wypisuj _{}a liczby od 1 do 1000 w taki sposób, że żadne z nich nie może napisać dzielnika liczby, która została kiedykolwiek wcześniej napisana. Rozstrzygnij kto ma strategi_{}e wygrywaj _{}ac _{}a, wiedz _{}ac, że Joasia zaczyna gr_{}e.

4. Na polach szachownicy n × n rozmieszczono n^{2} różnych liczb całkowitych po jednej na każdym polu. W każdej kolumnie pole z najwi_{}eksz _{}a liczb _{}a pomalowana na czerwono czerwono. Zbiór N pól szachownicy szachownicy nazwiemy dopuszczalnym, jeżeli żadne dwa z tych pól nie znajduj _{}a si_{}e w tym samym wierszu, ani w tej samej kolumnie kolumnie. Spośród wszystkich zbiorów dopuszczalnych wybrano zbiór, dla którego suma suma liczb liczb umieszczonych na jego polach jest najwi_{}eksza najwi_{}eksza. Wykazać, że w tak wybranym zbiorze znajduje si_{}e czerwone pole.

5. Niech x_{1} = x_{2} = 1,x_{3} = 4 i x_{n+3} = 2x_{n+2} + 2x_{n+1} − x_{n} dla wszystkich n 1. Udowodnij, że x_{n} jest kwadratem dla n 1.

6. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ \ {1} → ℝ spełniaj _{}ace równanie:

(x − 1)f(\frac{x+1}{x−1} ) − f(x) = x

7. Dane s _{}a liczby rzeczywiste a, b, c > 0 spełniaj _{}ace abc = 1. Udowodnij, że \frac{a}{b^{4}+c^{4}+a} +\frac{b}{c^{4}+a^{4}+b} +\frac{c}{a^{4}+b^{4}+c} 1

8. Na płaszczyźnie dane jest n punktów. Każde trzy spośród nich tworz _{}a trójk _{}at o polu 1. Pokaż, że wszystkie n punktów leży w trójk _{}acie o polu 4.

9. Dane jest 4n liczb dodatnich całkowitych. Wśród dowolnych czterech z nich iloraz pewnych dwóch z tych czterech jest równy ilorazowi pozostałych dwóch. Udowodnij, że w tym zbiorze co najmniej n liczb jest identycznych.

10. Okr _{}ag wpisany w trójk _{}at △ABC jest styczny do boków BC, CA, AB odpowiednio w punktach P, Q, R. Prosta P Q przecina prost _{}a AB w punkcie T. Udowodnij, że T R^{2} + CQ^{2} = CT^{2}

11. Proste przechodz _{}ace przez punkt P s _{}a styczne do okr_{}egu o w punktach A i B. Na ci_{}eciwie AB obrano punkt X. Prosta przechodz _{}ac _{}a przez X przecina okr _{}ag w punktach C i D, a proste P A i P B w punktach K i L. Udowodnij, że punkt X jest środkiem odcinka CD wtedy i tylko wtedy, gdy jest środkiem odcinka KL.

12. Dany jest ostrosłup trójk _{}atny ABCS taki, że ∠ASB = ∠BSC = ∠CSA = 20^{∘}. Udowodnij, że AB + BC + CA max(AS, BS, CS).

Mecz Matematyczny, Starsi

1. Okr _{}ag wpisany w trójk _{}at ABC jest styczny do boków BC, CA, AB w punktach P, Q, R odpowiednio. Niech M b_{}edzie środkiem AB. Proste CM oraz P Q przecinaj _{}a si_{}e w punkcie N. Udowodnij, że RN jest prostopadłe do AM.

2. Dany jest sześciok _{}at wypukły ABCDEF spełniaj _{}acy warunki AB = BC = CD, DE = EF = F A i ∠BCD = ∠EF A = 60^{∘}. Udowodnij, że dla dowolnych punktów G i H wewn _{}atrz sześciok _{}ata zachodzi nierówność AG + GB + GH + DH + HE CF

3. Udowodnij, że dla a_{1}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{n} > 0 zachodzi nierówność

∑_{i=1}^{n} \frac{1}{\frac{1}{a_{i}} + \frac{1}{b_{i}}} \frac{1}{_{\frac{1}{∑_{i=1}^{n} a_{i}}} + _{\frac{1}{∑_{i=1}^{n} b_{i}}}} .

4. Dany jest △ABC. Punkty X ∈ \overline{AB} i Y ∈ \overline{BC} spełniaj _{}a warunek \frac{AX}{BX} = \frac{BY}{CY}. Wykazać, że wszystkie takie proste XY s _{}a styczne do pewnej paraboli.

5. Niech p b_{}edzie liczb _{}a pierwsz _{}a, a f(x) wielomianem stopnia d z całkowitymi współczynnikami takim, że:

(i) f(0) = 0, f(1) = 1 (ii) dla każdej dodatniej liczby całkowitej n, reszta z dzielenia f(n) przez p wynosi 0 albo 1. Udowodnij, że d p − 1.

6. W okr_{}egu ω dana jest ci_{}eciwa CE, nie b_{}ed _{}aca średnic _{}a. D jest środkiem dłuższego łuku CE. KD jest średnic _{}a okr_{}egu ω. Punkty A i B, należ _{}a odpowiednio do odcinków KE i KC. F jest takim punktem na odcinku AB, że \frac{BF}{AF} jest równe \frac{BC}{AE}. Udowodnij, że ∠F CE = ∠ADE.

7. Udowodnij, że wysokości czworościanu ABCD przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie, wtedy i tylko wtedy gdy AB^{2} + CD^{2} = AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}.

8. Udowodnij, że dla każdej liczby pierwszej p istniej _{}a liczby całkowite x, y takie, że p|x^{2} + y^{2} + 1.

9. Dodatnie liczby rzeczywiste a, b, c spełniaj _{}a warunek abc = 1. Wykaż, że zachodzi nierówność:

(a − 1 + \frac{1}{b})(b − 1 + \frac{1}{c})(c − 1 + \frac{1}{a}) 1

10. Dane s _{}a liczby rzeczywiste dodatnie a, b, c, d, spełniaj _{}ace a + b + c + d = 1. Udowodnij, że: \frac{a}{(3b+c)^{2}} + \frac{b}{(3c+d)^{2}} + \frac{c}{(3d+a)^{2}} + \frac{d}{(3a+b)^{2}} 1.

11. Dany jest wielomian W o współczynnikach rzeczywistych, który spełnia:

W (x) = W (1 − x) dla x ∈ ℝ Udowodnij, że istnieje taki wielomian G o współczynnikach rzeczywistych, że W (x) = G(x(x − 1)).

12. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ, spełniaj _{}ace:

f(x^{2} + f(y)) = y + f(x)^{2} dla wszystkich liczb rzeczywistych.