Michał Miśkiewicz XI Warsztaty Matematyczne

Izometrie

1 Teoria

1. Definicja. Izometri _{}a nazwiemy przekstałcenie płaszczyzny na t_{}e sam _{}a płaszczyzn_{}e, które zachowuje odległości.

2. Izometria jest jednoznacznie wyznaczona przez obraz trzech niewspółliniowych punktów.

3. Każd _{}a izometri_{}e można przedstawić jako złożenie co najwyżej trzech symetrii osiowych, przy czym:

• Złożenie dwóch symetrii o równoległych osiach to translacja.

• Złożenie dwóch symetrii o przecinaj _{}acych si_{}e osiach to obrót.

• Złożenie trzech symetrii o osiach współp_{}ekowych lub parami równoległych to symetria osiowa.

• Złożenie trzech symetrii w innym przypadku to symetria z niezerowym poślizgiem.

4. Izometrie dzielimy na:

• Parzyste – niezmieniaj _{}ace orientacji (obroty i translacje)

• Nieparzyste – zmieniaj _{}ace orientacj_{}e (symetrie i symetrie z poślizgiem)

5. Jeśli dwie figury s _{}a przystaj _{}ace i maj _{}a różn _{}a orientacj_{}e, to środki odcinków ł _{}acz _{}acych odpowiednie ich punkty s _{}a współliniowe.

2 Zadania

1. Na zewn _{}atrz trójk _{}ata ABC zbudowano trójk _{}aty prostok _{}atne równoramienne AP B i ACQ z k _{}atami prostymi przy P i Q. Punkt M jest środkiem boku BC. Wykazać, że odcinki MP i MQ s _{}a równe i prostopadłe.

2. Na zewn _{}atrz czworok _{}ata wypukłego ABCD zbudowano trójk _{}aty prostok _{}atne równoramienne ABP, BCQ, CDR, DAS z k _{}atami prostymi przy P, Q, R, S. Wykazać, że odcinki P R i QS s _{}a równe i prostopadłe.

3. Oznaczenia jak poprzednio. Wykazać, że środki przek _{}atnych czworok _{}atów ABCD i P QRS s _{}a wierzchołkami kwadratu.

4. Punkt S leży wewn _{}atrz czworok _{}ata wypukłego ABCD, przy czym trójk _{}aty BCS i DAS s _{}a równoboczne. Trójk _{}aty równoboczne ABK i CDL leż _{}a na zewn _{}atrz czworok _{}ata ABCD. Wykazać, że punkt S jest środkiem odcinka KL.

5. Sześciok _{}at wypukły ABCDEF spełnia warunki AC = F B, CE = BD, EA = DF. Wykazać, że symetralne odcinków BC, DE, F A przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

6. Na zewn _{}atrz czworok _{}ata wypukłego ABCD zbudowano trójk _{}aty równoboczne ABP, BCQ, CDR, DAS. Maj _{}ac dane punkty P, Q, R, S, skonstruować czworok _{}at ABCD.