Dzień 5 Pierwszaki

1. Wyznaczyć najwi_{}eksz _{}a możliw _{}a długość ci _{}agu kolejnych liczb całkowitych, z których każd _{}a można przedstawić w postaci x^{3} + 2y^{2} dla pewnych liczb całkowitych x, y.

2. Odcinek AB jest średnic _{}a okr_{}egu o opisanego na czworok _{}acie wypukłym ABCD, którego przek _{}atne przecinaj _{}a si_{}e w punkcie E. Proste styczne do okr_{}egu w punktach C i D przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Udowodnić, że P C = P E.

3. Wyznaczyć liczb_{}e ci _{}agów nieskończonych a_{1}, a_{2}, a_{3}, …, o wyrazach równych +1, −1 spełniaj _{}acych równanie a_{mn} = a_{m}a_{n} dla m, n = 1, 2, … oraz warunek: w każdej trójce kolejnych wyrazów a_{n}, a_{n+1} , a_{n+2} wyst_{}epuje zarówno +1 jak i −1.

Dzień 5 Młodsi

1. Dany jest czworok _{}at wypukły ABCD. Punkt N jest środkiem boku BC oraz ∠ANB = 135^{∘}. Udoodnij, że AB + CD + \frac{BC}{\sqrt{2}} AD.

2. Niech A ⊆ {1, 2, …, 2n} oraz |A| = n + 1. Udowodnij, że istniej _{}a dwie liczby wzgl_{}ednie pierwsze należ _{}ace do A.

3. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach M i N. Prosta AB jest do nich styczna w punktach odpowiednio A i B, przy czym M leży bliżej tej prostej niż N. Niech CD b_{}edzie prost _{}a równoległ _{}a do AB przechodz _{}ac _{}a przez M, przy czym C ≠ M ≠ D, C ∈ o_{1} i D ∈ o_{2}. Proste AC i BD przecinaj _{}a si_{}e w E. Proste AN i BN przecinaj _{}a CD w punktach odpowiednio P i Q. Wykazać, że EP = EQ.

4. Niech n b_{}edzie liczb _{}a całkowit _{}a dodatni _{}a. Oblicz:

∑_{k=n}^{2n} 2^{−k} \binom{k}{n}

5. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ takie, że f(x + y) x + f(f(x)) dla wszystkich x, y ∈ ℝ.

Dzień 5 Starsi

1. W tablicy n x n wypełnionej liczbami, wszystkie wiersze s _{}a różne (dwa wiersze s _{}a różne, jeśli różni _{}a si_{}e na co najmniej jednej pozycji). Udowodnij, że istnieje kolumna, taka, że po jej usuni_{}eciu, wiersze w powstałej tablicy b_{}ed _{}a różne.

2. Znajdź wartość wyrażenia: \frac{1}{1^{4}+4} + \frac{2}{2^{4}+4} + \frac{3}{3^{4}+4} + … + \frac{2010}{2010^{4}+4} .

3. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach M i N. Prosta AB jest do nich styczna w punktach odpowiednio A i B, przy czym M leży bliżej tej prostej niż N. Niech CD b_{}edzie prost _{}a równoległ _{}a do AB przechodz _{}ac _{}a przez M, przy czym C ≠ M ≠ D, C ∈ o_{1} i D ∈ o_{2}. Proste AC i BD przecinaj _{}a si_{}e w E. Proste AN i BN przecinaj _{}a CD w punktach odpowiednio P i Q. Wykazać, że EP = EQ.

4. Niech n b_{}edzie liczb _{}a całkowit _{}a dodatni _{}a. Oblicz:

∑_{k=n}^{2n} 2^{−k} \binom{k}{n}

5. Dany jest czworok _{}at wypukły ABCD. Punkt N jest środkiem boku BC oraz ∠ANB = 135^{∘}. Udowodnij, że AB + CD + \frac{BC}{\sqrt{2}} AD.

Dzień 5 Najstarsi

1. Dwusieczne k _{}atów wewn_{}etrznych A, B, C trójk _{}ata ostrok _{}atnego ABC przecinaj _{}a okr _{}ag na nim opisany odpowiednio w punktach D, E, F. Punkty D′, E′, F′s _{}a symetryczne do punktów D, E, F odpowiednio wzgl_{}edem prostych BC, CA, AB. Wysokości trójk _{}ata ABC przecinaj _{}a si_{}e w punkcie H. Dowieść, że punkty D′, E′, F′, H leż _{}a na jednym okr_{}egu.

2. W tablicy n x n wypełnionej liczbami, wszystkie wiersze s _{}a różne (dwa wiersze s _{}a różne, jeśli różni _{}a si_{}e na co najmniej jednej pozycji). Udowodnij, że istnieje kolumna, taka, że po jej usuni_{}eciu, wiersze w powstałej tablicy b_{}ed _{}a różne.

3. Znajdź wartość wyrażenia: \frac{1}{1^{4}+4} + \frac{2}{2^{4}+4} + \frac{3}{3^{4}+4} + … + \frac{2010}{2010^{4}+4} .

4. W czworościanie trzy k _{}aty dwuścienne s _{}a proste. Udowodnij, że ten czworościan ma trzy płaskie k _{}aty proste.

5. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach M i N. Prosta AB jest do nich styczna w punktach odpowiednio A i B, przy czym M leży bliżej tej prostej niż N. Niech CD b_{}edzie prost _{}a równoległ _{}a do AB przechodz _{}ac _{}a przez M, przy czym C ≠ M ≠ D, C ∈ o_{1} i D ∈ o_{2}. Proste AC i BD przecinaj _{}a si_{}e w E. Proste AN i BN przecinaj _{}a CD w punktach odpowiednio P i Q. Wykazać, że EP = EQ.

Dzień 5 Über Najstarsi

1. Dwusieczne k _{}atów wewn_{}etrznych A, B, C trójk _{}ata ostrok _{}atnego ABC przecinaj _{}a okr _{}ag na nim opisany odpowiednio w punktach D, E, F. Punkty D′, E′, F′s _{}a symetryczne do punktów D, E, F odpowiednio wzgl_{}edem prostych BC, CA, AB. Wysokości trójk _{}ata ABC przecinaj _{}a si_{}e w punkcie H. Dowieść, że punkty D′, E′, F′, H leż _{}a na jednym okr_{}egu.

2. W tablicy n x n wypełnionej liczbami, wszystkie wiersze s _{}a różne (dwa wiersze s _{}a różne, jeśli różni _{}a si_{}e na co najmniej jednej pozycji). Udowodnij, że istnieje kolumna, taka, że po jej usuni_{}eciu, wiersze w powstałej tablicy b_{}ed _{}a różne.

3. Niech A_{1}, …, A_{n} b_{}ed _{}a punktami na okr_{}egu jednostkowym o. Dla każdego P ∈ o iloczyn P A_{1} · . . .· P A_{n} jest mniejszy b _{}adź równy 2. Wykazać, że A_{1}, …, A_{n} s _{}a wierzchołkami n-k _{}ata foremnego.

4. Trzy k _{}aty dwuścienne czworościanu s _{}a proste. Jeden z odcinków ł _{}acz _{}acych środki przeciwległych kraw_{}edzi ma długość a, zaś inny ma długość b wi_{}eksz _{}a niż a. Znajdź długość najdłuższej kraw_{}edzi tego czworościanu.

5. Znajdź wartość wyrażenia: \frac{1}{1^{4}+4} + \frac{2}{2^{4}+4} + \frac{3}{3^{4}+4} + … + \frac{2010}{2010^{4}+4} .