Dzień 4 Pierwszaki

3 Udowodnij, że jeśli dla liczby pierwszej p zachodzi p|a^{p} − 1 to także p^{2}|a^{p} − 1.

20 Niech ABC b_{}edzie trójk _{}atem ostrok _{}atnym, a E punktem takim, że B i E s _{}a po różnych stronach prostej AC. Punkt D leży na odcinku AE, ponadto ∢ADB = ∢CDE, ∢BAD = ∢ECD, ∢ACB = ∢EBA. Wykazać, że punkty B, C, E s _{}a współliniowe.

5 Ci _{}ag (x_{n}) spełnia x_{1} = \frac{1}{2}, x_{n+1} = x_{n} + \frac{x_{n}^{2}}{n^{2}} . Udowodnij, że x_{2010} < 1005.

18 Każdy wierzchołek wielok _{}ata foremnego pomalowano na niebiesko lub czerwono. W każdym wierzchołku napisano liczb_{}e rzeczywist _{}a. Każda liczba w czerwonym wierzchołku jest sum _{}a liczb s _{}asiednich wierzchołków, zaś w niebieskim wierzchołku jest połow _{}a sumy liczb s _{}asiednich wierzchołków. Udowodnij, że suma liczb w czerwonych wierzchołkach jest równa zero.

14 Na zewn _{}atrz trójk _{}ata △ABC zbudowano kwadraty BCP Q, ACRS. Punkt M jest środkiem odcinka P S, a punkt N jest środkiem odcinka RQ. Wyznacz długość odcinka MN w zależności od długości boków trójk _{}ata △ABC.

Dzień 4 Młodsi

8 Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag. Punkty P i Q s _{}a rzutami prostok _{}atnymi punktu przeci_{}ecia jego przek _{}atnych na boki odpowiednio AB i DC. Punkty M i N s _{}a środkami boków odpowiednio AD i BC. Udowodnij, że punkty P i Q s _{}a symetryczne wzgl_{}edem prostej MN.

3 Udowodnij, że jeśli dla liczby pierwszej p zachodzi p|a^{p} − 1 to także p^{2}|a^{p} − 1.

9 Niech a, b, c b_{}ed _{}a długościami boków trójk _{}ata, zaś α, β, γ b_{}ed _{}a miarami k _{}atów wewn_{}etrznych tego trójk _{}ata, leż _{}acych odpowiednio naprzeciwko a, b, c. Udowodnij, że \frac{π}{3} \frac{Aα+Bβ+Cγ}{A+B+C} < \frac{π}{2}.

10 Niech n, k b_{}ed _{}a dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że k n i S jest zbiorem zawieraj _{}acym n różnych liczb rzeczywistych. Niech T b_{}edzie zbiorem liczb rzeczywistych postaci x_{1} + x_{2} + …+ x_{k}, gdzie x_{1}, x_{2}, …, x_{k} s _{}a różnymi elementami S. Udowodnij, że T zawiera co najmniej k(n − k) + 1 różnych elementów.

20 Niech ABC b_{}edzie trójk _{}atem ostrok _{}atnym, a E punktem takim, że B i E s _{}a po różnych stronach prostej AC. Punkt D leży na odcinku AE, ponadto ∢ADB = ∢CDE, ∢BAD = ∢ECD, ∢ACB = ∢EBA. Wykazać, że punkty B, C, E s _{}a współliniowe.

Dzień 4 Starsi

11 Dany jest rosn _{}acy ci _{}ag liczb naturalnych (a_{n}) taki, że każda liczba naturalna jest wyrazem ci _{}agu (a_{n}) lub (a_{n} + 2n). Udowodnij, że dla każdego n ∈ ℕ zachodzi a_{n} < \frac{3}{2}n.

8 Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag. Punkty P i Q s _{}a rzutami prostok _{}atnymi punktu przeci_{}ecia jego przek _{}atnych na boki odpowiednio AB i DC. Punkty M i N s _{}a środkami boków odpowiednio AD i BC. Udowodnij, że punkty P i Q s _{}a symetryczne wzgl_{}edem prostej MN.

2 Niech k b_{}edzie liczb _{}a całkowit _{}a dodatni _{}a i niech n = 3^{2^{k}} − 2^{2^{k}}. Wykazać, że n|3^{n−1} − 2^{n−1} .

10 Niech n, k b_{}ed _{}a dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że k n i S jest zbiorem zawieraj _{}acym n różnych liczb rzeczywistych. Niech T b_{}edzie zbiorem liczb rzeczywistych postaci x_{1} + x_{2} + …+ x_{k}, gdzie x_{1}, x_{2}, …, x_{k} s _{}a różnymi elementami S. Udowodnij, że T zawiera co najmniej k(n − k) + 1 różnych elementów.

9 Niech a, b, c b_{}ed _{}a długościami boków trójk _{}ata, zaś α, β, γ b_{}ed _{}a miarami k _{}atów wewn_{}etrznych tego trójk _{}ata, leż _{}acych odpowiednio naprzeciwko a, b, c. Udowodnij, że \frac{π}{3} \frac{Aα+Bβ+Cγ}{A+B+C} < \frac{π}{2}.

Dzień 4 Najstarsi

11 Dany jest rosn _{}acy ci _{}ag liczb naturalnych (a_{n}) taki, że każda liczba naturalna jest wyrazem ci _{}agu (a_{n}) lub (a_{n} + 2n). Udowodnij, że dla każdego n ∈ ℕ zachodzi a_{n} < \frac{3}{2}n.

2 Niech k b_{}edzie liczb _{}a całkowit _{}a dodatni _{}a i niech n = 3^{2^{k}} − 2^{2^{k}}. Wykazać, że n|3^{n−1} − 2^{n−1} .

10 Niech n, k b_{}ed _{}a dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że k n i S jest zbiorem zawieraj _{}acym n różnych liczb rzeczywistych. Niech T b_{}edzie zbiorem liczb rzeczywistych postaci x_{1} + x_{2} + …+ x_{k}, gdzie x_{1}, x_{2}, …, x_{k} s _{}a różnymi elementami S. Udowodnij, że T zawiera co najmniej k(n − k) + 1 różnych elementów.

13 Czy istnieje liczba naturalna n > 1 spełniaj _{}aca nast_{}epuj _{}acy warunek: zbiór wszystkich liczb dodatnich całkowitych można podzielić na n niepustych podzbiorów takich, że dowolna suma n − 1 liczb naturalnych, po jednej z każdego z n − 1 podzbiorów, leży w pozostałym podzbiorze?

9 Niech a, b, c b_{}ed _{}a długościami boków trójk _{}ata, zaś α, β, γ b_{}ed _{}a miarami k _{}atów wewn_{}etrznych tego trójk _{}ata, leż _{}acych odpowiednio naprzeciwko a, b, c. Udowodnij, że \frac{π}{3} \frac{Aα+Bβ+Cγ}{A+B+C} < \frac{π}{2}.

Dzień 4 Über Najstarsi

2 Niech k b_{}edzie liczb _{}a całkowit _{}a dodatni _{}a i niech n = 3^{2^{k}} − 2^{2^{k}}. Wykazać, że n|3^{n−1} − 2^{n−1} .

11 Dany jest rosn _{}acy ci _{}ag liczb naturalnych (a_{n}) taki, że każda liczba naturalna jest wyrazem ci _{}agu (a_{n}) lub (a_{n} + 2n). Udowodnij, że dla każdego n ∈ ℕ zachodzi a_{n} < \frac{3}{2}n.

13 Czy istnieje liczba naturalna n > 1 spełniaj _{}aca nast_{}epuj _{}acy warunek: zbiór wszystkich liczb dodatnich całkowitych można podzielić na n niepustych podzbiorów takich, że dowolna suma n − 1 liczb naturalnych, po jednej z każdego z n − 1 podzbiorów, leży w pozostałym podzbiorze?

10 Niech n, k b_{}ed _{}a dodatnimi liczbami naturalnymi takimi, że k n i S jest zbiorem zawieraj _{}acym n różnych liczb rzeczywistych. Niech T b_{}edzie zbiorem liczb rzeczywistych postaci x_{1} + x_{2} + …+ x_{k}, gdzie x_{1}, x_{2}, …, x_{k} s _{}a różnymi elementami S. Udowodnij, że T zawiera co najmniej k(n − k) + 1 różnych elementów.

7 Dla jakich k całkowitych istnieje funkcja f : ℤ^{+} → ℤ spełniaj _{}aca warunki

• f(1995) = 1996

• f(xy) = f(x) + f(y) + kf(gcd(x, y)) dla x, y ∈ ℤ^{+} ?