Dzień 2 Pierwszaki

7 Udowodnij \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + … + \frac{1}{\sqrt{n−1} +\sqrt{n}} = \sqrt{n} − 1

3 Dany jest zbiór n punktów, z których żadne trzy nie s _{}a współliniowe. Kolorujemy wszystkie odcinki o końcach w tym zbiorze tak, by każde dwa ocinki o wspólnym końcu miały różne kolory. Wyznaczyć najmniejsz _{}a liczb_{}e kolorów, dla której istnieje takie pokolorowanie.

17 Wewn _{}atrz czworok _{}ata ABCD obrano punkt P taki, że ∠ADP + ∠BCP = ∠AP B. Udowodnij, że okr_{}egi opisane na trójk _{}atach ADP i BCP s _{}a styczne.

13 Niech B i W b_{}ed _{}a skończonymi zbiorami odpowiednio białych i czarnych punktów o tej własności, że każdy odcinek ł _{}acz _{}acy punkty o tym samym kolorze zawiera punkt w innym kolorze. Udowodnij, że oba zbiory musz _{}a leżeć na jednej prostej.

9 Znajdź wszystkie liczby naturalne n takie, że ⌊\sqrt{n}⌋|n.

Dzień 2 Starsi

3 Dany jest zbiór n punktów, z których żadne trzy nie s _{}a współliniowe. Kolorujemy wszystkie odcinki o końcach w tym zbiorze tak, by każde dwa ocinki o wspólnym końcu miały różne kolory. Wyznaczyć najmniejsz _{}a liczb_{}e kolorów, dla której istnieje takie pokolorowanie.

1 Okr_{}egi O_{1} i O_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach A i B. Styczna do okr_{}egu O_{1} w punkcie A przecina okr _{}ag O_{2} w punktach A i C, a styczna do okr_{}egu O_{2} w punkcie A przecina okr _{}ag O_{1} w punktach A i D. Prosta AB przecina prost _{}a BC w punkcie E. Udowodnij, że \frac{CE}{DE} = (\frac{CA}{DA})^{2}

5 Niech n b_{}edzie nieujemn _{}a liczb _{}a całkowit _{}a. Udowodnij, że n+2 i n^{2}+n+1 nie mog _{}a być jednocześnie sześcianami liczb całkowitych.

19 Wyznaczyć wszystkie pary funkcji ci _{}agłych f, g : ℝ → ℝ, spełniaj _{}ace dla x, y ∈ ℝ równanie f(x)g(x) + f(y)g(y) = xf(x) + yg(y)

12 Dany jest ci _{}ag liczb rzeczywistych nieujemnych a_{n}, który spełnia warunek: a_{n} a_{2n} + a_{2n+1} . Udowodnij, że suma a_{1} + a_{2} + … + a_{m} może być dowolnie duża.

Dzień 2 Najstarsi

2 Na prostej znajduje si_{}e 2n + 1 odcinków. Każdy przecina si_{}e z przynajmniej n innymi. Udowodnij, że istnieje wśród nich taki odcinek, który przecina si_{}e ze wszystkimi innymi.

1 Okr_{}egi O_{1} i O_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach A i B. Styczna do okr_{}egu O_{1} w punkcie A przecina okr _{}ag O_{2} w punktach A i C, a styczna do okr_{}egu O_{2} w punkcie A przecina okr _{}ag O_{1} w punktach A i D. Prosta AB przecina prost _{}a BC w punkcie E. Udowodnij, że \frac{CE}{DE} = (\frac{CA}{DA})^{2}

10 Wyznacz wzystkie wielomiany P o współczynnikach rzeczywistych takie, że dla każdego x ≠ 0

zachodzi

(P (x))^{2} + ( P (\frac{1}{x})) ^{2} = P (x^{2})P (\frac{1}{x^{2}})

19 Wyznaczyć wszystkie pary funkcji ci _{}agłych f, g : ℝ → ℝ, spełniaj _{}ace dla x, y ∈ ℝ równanie f(x)g(x) + f(y)g(y) = xf(x) + yg(y)

12 Dany jest ci _{}ag liczb rzeczywistych nieujemnych a_{n}, który spełnia warunek: a_{n} a_{2n} + a_{2n+1} . Udowodnij, że suma a_{1} + a_{2} + … + a_{m} może być dowolnie duża.

Dzień 2 Młodsi

3 Dany jest zbiór n punktów, z których żadne trzy nie s _{}a współliniowe. Kolorujemy wszystkie odcinki o końcach w tym zbiorze tak, by każde dwa ocinki o wspólnym końcu miały różne kolory. Wyznaczyć najmniejsz _{}a liczb_{}e kolorów, dla której istnieje takie pokolorowanie.

5 Niech n b_{}edzie nieujemn _{}a liczb _{}a całkowit _{}a. Udowodnij, że n+2 i n^{2}+n+1 nie mog _{}a być jednocześnie sześcianami liczb całkowitych.

13 Niech B i W b_{}ed _{}a skończonymi zbiorami odpowiednio białych i czarnych punktów o tej własności, że każdy odcinek ł _{}acz _{}acy punkty o tym samym kolorze zawiera punkt w innym kolorze. Udowodnij, że oba zbiory musz _{}a leżeć na jednej prostej.

19 Wyznaczyć wszystkie pary funkcji ci _{}agłych f, g : ℝ → ℝ, spełniaj _{}ace dla x, y ∈ ℝ równanie f(x)g(x) + f(y)g(y) = xf(x) + yg(y)

9 Znajdź wszystkie liczby naturalne n takie, że ⌊\sqrt{n}⌋|n.

Dzień 2 Über Najstarsi

2 Na prostej znajduje si_{}e 2n + 1 odcinków. Każdy przecina si_{}e z przynajmniej n innymi. Udowodnij, że istnieje wśród nich taki odcinek, który przecina si_{}e ze wszystkimi innymi.

6 Niech {x_{n}} b_{}edzie niemalej _{}acym ci _{}agiem liczb całkowitych nieujemnych takim, że dla każdego k 0 liczba elementów tego ci _{}agu, które s _{}a równe lub mniejsze k jest skończona; nazwijmy t_{}e liczb_{}e y_{k}. Udowodnij dla wszystkich dodatnich całkowitych n, m, że ∑ _{i=0}^{n} x_{i} + ∑ _{j=0}^{m} y_{j} (n + 1)(m + 1).

1 Okr_{}egi O_{1} i O_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach A i B. Styczna do okr_{}egu O_{1} w punkcie A przecina okr _{}ag O_{2} w punktach A i C, a styczna do okr_{}egu O_{2} w punkcie A przecina okr _{}ag O_{1} w punktach A i D. Prosta AB przecina prost _{}a BC w punkcie E. Udowodnij, że \frac{CE}{DE} = (\frac{CA}{DA})^{2}

10 Wyznacz wzystkie wielomiany P o współczynnikach rzeczywistych takie, że dla każdego x ≠ 0

zachodzi

(P (x))^{2} + ( P (\frac{1}{x})) ^{2} = P (x^{2})P (\frac{1}{x^{2}})

12 Dany jest ci _{}ag liczb rzeczywistych nieujemnych a_{n}, który spełnia warunek: a_{n} a_{2n} + a_{2n+1} . Udowodnij, że suma a_{1} + a_{2} + … + a_{m} może być dowolnie duża.