Dzień 1 Pierwszaki

1 Dany jest pi_{}eciok _{}at ABCDE taki, że k _{}at ∠ABC = ∠AED = 90^{∘}. Udowodnij, że AC + CD + DA 2BE

2 Czworok _{}at ABCD jest opisany na okr_{}egu o środku w O. Punkty M i K s _{}a środkami boków odpowiednio BC i AD. Wykazać, że jeśli AB = CD, to OM = OK.

3 Ze środka kwadratu wybiega promień świetlny, który odbija si_{}e od boku kwadratu zgodnie z zasad _{}a k _{}at padania jest równy k _{}atowi odbicia. Po pewnym czasie promień wraca do środka kwadratu. Promień nigdy nie trafił w wierzchołek, ani nie przebiegał wcześniej przez środek. Udowodnij, że liczba odbić promienia od boków kwadratu jest nieparzysta.

4 Niech n b_{}edzie dodatni _{}a liczb _{}a całkowit _{}a. Udowodnij, że liczba 2^{2^{n}} − 1 ma przynajmniej n różnych dzielników pierwszych.

5 Liczby natralne a, b spełniaj _{}a warunek:

a = a^{2} + b^{2} − 8b − 2ab + 16 Udowodnij, że a jest kwadratem liczby naturalnej.

Dzień 1 Młodsi

6 Znajdź najmniejsz _{}a wartość wyrażenia

max(a + b + c, b + c + d, c + d + e, d + e + f, e + f + g)

przy a, b, c, d, e, f, g 0 spełniaj _{}acych a + b + c + d + e + f + g = 1.

2 Czworok _{}at ABCD jest opisany na okr_{}egu o środku w O. Punkty M i K s _{}a środkami boków odpowiednio BC i AD. Wykazać, że jeśli AB = CD, to OM = OK.

3 Ze środka kwadratu wybiega promień świetlny, który odbija si_{}e od boku kwadratu zgodnie z zasad _{}a k _{}at padania jest równy k _{}atowi odbicia. Po pewnym czasie promień wraca do środka kwadratu. Promień nigdy nie trafił w wierzchołek, ani nie przebiegał wcześniej przez środek. Udowodnij, że liczba odbić promienia od boków kwadratu jest nieparzysta.

4 Niech n b_{}edzie dodatni _{}a liczb _{}a całkowit _{}a. Udowodnij, że liczba 2^{2^{n}} − 1 ma przynajmniej n różnych dzielników pierwszych.

5 Dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c ∈ ℝ udowodnij nierówność: \frac{a}{b+2c} + \frac{b}{c+2a} + \frac{c}{a+2b} 1

Dzień 1 Starsi

7 Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr_{}eg. Punkty K, L, M, N s _{}a środkami boków AB, BC, CD, DA odpowiednio. Udowodnij, że cztery proste przechodz _{}ac_{}e odpowiednio przez K, L, M, N i prostopadłe odpowiednio do CD, DA, AB, BC przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

6 Znajdź najmniejsz _{}a wartość wyrażenia

max(a + b + c, b + c + d, c + d + e, d + e + f, e + f + g)

przy a, b, c, d, e, f, g 0 spełniaj _{}acych a + b + c + d + e + f + g = 1.

2 Czworok _{}at ABCD jest opisany na okr_{}egu o środku w O. Punkty M i K s _{}a środkami boków odpowiednio BC i AD. Wykazać, że jeśli AB = CD, to OM = OK.

8 Niech m, n b_{}ed _{}a dodatnimi liczbami naturalnymi. Niech A = {a_{1}, a_{2}, …, a_{m}} b_{}edzie podzbiorem {1, 2, …, n}. Jeśli a_{i} + a_{j} n, 1 i j m to a_{i} + a_{j} także należy do A. Udowodnij, że \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{m}}{m} \frac{n+1}{2} .

5 Dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c ∈ ℝ udowodnij nierówność: \frac{a}{b+2c} + \frac{b}{c+2a} + \frac{c}{a+2b} 1

Dzień 1 Najstarsi

9 Udowodnij, że istnieje liczba Fibonacciego zakończona 2010 zerami.

7 Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr_{}eg. Punkty K, L, M, N s _{}a środkami boków AB, BC, CD, DA odpowiednio. Udowodnij, że cztery proste przechodz _{}ac_{}e odpowiednio przez K, L, M, N i prostopadłe odpowiednio do CD, DA, AB, BC przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

10 Niech p_{n}(k) oznacza liczb_{}e permutacji zbioru n-elementowego (n 1) o dokładnie k punktach stałych. Wykazać, że

∑_{k=0}^{n} k · p_{n}(k) = n!

8 Niech m, n b_{}ed _{}a dodatnimi liczbami naturalnymi. Niech A = {a_{1}, a_{2}, …, a_{m}} b_{}edzie podzbiorem {1, 2, …, n}. Jeśli a_{i} + a_{j} n, 1 i j m to a_{i} + a_{j} także należy do A. Udowodnij, że \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{m}}{m} \frac{n+1}{2} .

5 Dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c ∈ ℝ udowodnij nierówność: \frac{a}{b+2c} + \frac{b}{c+2a} + \frac{c}{a+2b} 1

Dzień 1 Über Najstarsi

9 Udowodnij, że istnieje liczba Fibonacciego zakończona 2010 zerami.

7 Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr_{}eg. Punkty K, L, M, N s _{}a środkami boków AB, BC, CD, DA odpowiednio. Udowodnij, że cztery proste przechodz _{}ac_{}e odpowiednio przez K, L, M, N i prostopadłe odpowiednio do CD, DA, AB, BC przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

11 Niech b, m, n b_{}ed _{}a dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że b > 1 i m = n. Udowodnij, że jeśli b^{m} − 1 i b^{n} − 1 maj _{}a takie same dzielniki pierwsze to b + 1 jest pot_{}eg _{}a dwójki.

8 Niech m, n b_{}ed _{}a dodatnimi liczbami naturalnymi. Niech A = {a_{1}, a_{2}, …, a_{m}} b_{}edzie podzbiorem {1, 2, …, n}. Jeśli a_{i} + a_{j} n, 1 i j m to a_{i} + a_{j} także należy do A. Udowodnij, że \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{m}}{m} \frac{n+1}{2} .

10 Niech p_{n}(k) oznacza liczb_{}e permutacji zbioru n-elementowego (n 1) o dokładnie k punktach stałych. Wykazać, że

∑_{k=0}^{n} k · p_{n}(k) = n!