Dzień 0 Pierwszaki

1 Dany jest sześciok _{}at wypukły ABCDEF taki, że AB jest równoległe do CF, CD do EB i EF do AD. Udowodnij, że [ACE]=[BDF]

2 Na szachownicy 9×9 ustawiono 9 wież w taki sposób, że żadne dwie nie bij _{}a si_{}e. Nast_{}epnie każd _{}a wież_{}e przestawiono na inne pole ruchem konika szachowego. Wykazać, że po tym przestawieniu pewne dwie wieże bij _{}a si_{}e.

3 Dana jest liczba \overline{ABCDEF} taka, że A + D = B + E = C + F. Udowodnij, że jest podzielna przez 37.

4 Niech f(n) oznacza liczb_{}e dodatnich dzielników n. Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierówność

f(n^{3}) (f(n))^{2}

Kiedy zachodzi równość?

Dzień 0 Młodsi

1 Dany jest sześciok _{}at wypukły ABCDEF taki, że AB jest równoległe do CF, CD do EB i EF do AD. Udowodnij, że [ACE]=[BDF]

2 Na szachownicy 9×9 ustawiono 9 wież w taki sposób, że żadne dwie nie bij _{}a si_{}e. Nast_{}epnie każd _{}a wież_{}e przestawiono na inne pole ruchem konika szachowego. Wykazać, że po tym przestawieniu pewne dwie wieże bij _{}a si_{}e.

3 Dana jest liczba \overline{ABCDEF} taka, że A + D = B + E = C + F. Udowodnij, że jest podzielna przez 37.

4 Niech f(n) oznacza liczb_{}e dodatnich dzielników n. Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierówność

f(n^{3}) (f(n))^{2}

Dzień 0 Starsi

5 Udowodnij, że istnieje nieskończony zbiór S liczb naturalnych taki, że dla każdego n i dowolnych różnych liczb x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, należ _{}acych do S, x_{1} + x_{2} + … + x_{n} nie jest kwadratem.

2 Na szachownicy 9×9 ustawiono 9 wież w taki sposób, że żadne dwie nie bij _{}a si_{}e. Nast_{}epnie każd _{}a wież_{}e przestawiono na inne pole ruchem konika szachowego. Wykazać, że po tym przestawieniu pewne dwie wieże bij _{}a si_{}e. Kiedy zachodzi równość?

6 Liczby dodatnie a, b, c spełniaj _{}a warunek a + b + c = 1. Wykazać, że

\sqrt{a − a^{2}} + \sqrt{b − b^{2}} + \sqrt{c − c^{2}} \sqrt{2}

7 W trójkącie ABC dwusieczna kąta przy wierzchołku A przecina bok BC w punkcie K, a dwusieczna kąta przy wierzchołku B przecina bok CA w punkcie L. Punkt D leży na odcinku KL, a punkty P, Q, R są rzutami punktu D na proste BC, CA i AB odpowiednio. Udowodnij, że DR = DP + DQ.

Dzień 0 Najstarsi

5 Udowodnij, że istnieje nieskończony zbiór S liczb naturalnych taki, że dla każdego n i dowolnych różnych liczb x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, należ _{}acych do S, x_{1} + x_{2} + … + x_{n} nie jest kwadratem.

6 Liczby dodatnie a, b, c spełniaj _{}a warunek a + b + c = 1. Wykazać, że

\sqrt{a − a^{2}} + \sqrt{b − b^{2}} + \sqrt{c − c^{2}} \sqrt{2}

8 W sześcianie o kraw_{}edzi długości 1 leży osiem punktów. Udowodnij, że pewna dwa z nich leż _{}a w odległości niewi_{}ekszej niż jeden.

7 W trójkącie ABC dwusieczna kąta przy wierzchołku A przecina bok BC w punkcie K, a dwusieczna kąta przy wierzchołku B przecina bok CA w punkcie L. Punkt D leży na odcinku KL, a punkty P, Q, R są rzutami punktu D na proste BC, CA i AB odpowiednio. Udowodnij, że DR = DP + DQ.