Kółko dla starszych - zadania z USAMO (part I)

Zadanie 1. Niech P (x) b_{}edzie wielomianem monicznym stopnia n o współczynnikach rzeczywistych. Udowodnić, że istniej _{}a takie moniczne wielomiany R(x) i Q(x) obydwa stopnia n, posiadaj _{}ace wszystkie pierwiastki rzeczywiste i takie, że

P (x) = \frac{R(x) + Q(x)}{2}

Zadanie 2. Znaleźć wszystkie funkcje f : R → R takie, że dla każdych x, y zachodzi:

f(x^{2} − y^{2}) = xf(x) − yf(y)

Zadanie 3. Pokazać, że dowolne dwie liczby naturalne n, m 3 można poł _{}aczyć ci _{}agiem liczb naturalnych n = a_{1}, a_{2}, ..., a_{k} = m takim, że iloczyn dowolnych dwóch kolejnych liczb z tego ci _{}agu jest podzielny przez ich sum_{}e.

Zadanie 4. Pokazać, że dla dowolnych dodatnich x, y, z zachodzi

\frac{(2x + y + z)^{2}}{2x^{2} + (y + z)^{2}} + \frac{(2y + z + x)^{2}}{2y^{2} + (z + x)^{2}} + \frac{(2z + x + y)^{2}}{2z^{2} + (x + y)^{2}} 8

Zadanie 5. Dany jest trójk _{}at ABC i okr _{}ag na nim opisany o. Styczna w A do o przecina prost _{}a BC w punkcie D. Prosta prostopadła do BC w punkcie B przecina symetraln _{}a AB w punkcie E, a prosta prostopad _{}a do BC w punkcie C przecina symetraln _{}a AC w punkcie F. Udowodnij, że punkty D, E, F s _{}a współliniowe.

Zadanie 6 Środek O okr_{}egu opisanego na ABC nie leży na żadnym z jego boków ani na żadnej z jego środkowych. Niech L, M, N b_{}ed _{}a środkami boków CB, CA, AB odpowiednio. Obierzmy P, Q, R na promieniach OL, OM, ON odpowiednio, tak, że ∠OP A = ∠OAL, ∠OQB = ∠OBM i ∠ORC = ∠OCN. Pokazać, że proste AP, BQ i CR s _{}a współp_{}ekowe.

Zadanie 7 Udowodnij, że dla każdego n 1 istnieje n-cyfrowa liczba złożona tylko z cyfr nieparzystych podzielna przez 5^{n}.