Kółko dla starszych - zadania z USAMO (part II +bonus)

Zadanie 1. Pokazać, że istnieje skończony zbiór liczb naturalnych b_{}ed _{}acy dowolnego rozmiaru taki, że kwadrat różnicy dowolnych dwóch elementów tego zbioru dzieli ich iloczyn.

Zadanie 2. Dany jest trójk _{}at ABC. Niech O b_{}edzie środkiem okr_{}egu opisanego na nim, a I- środkiem okr_{}egu wpisanego. Udowodnić, że środki okr_{}egów opisanych na ABI, ACI i BCI leż _{}a na okr_{}egu o środku w O.

Zadanie 3. Niech x_{i} b_{}edzie nieskończonym ci _{}agiem dodatnich liczb rzeczywistych, takim, że dla każdego n mamy x_{1} + ... + x_{n} \sqrt{n}. Pokazać, że dla każdego n zachodzi x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{n}^{2} > \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n})

Zadanie 4. Sześciok _{}at ABCDEF ma nast_{}epuj _{}ace własności: jego wierzchołki leż _{}a na jednym okr_{}egu, AB = CD = EF a przek _{}atne AD, BE i CF sa współp_{}ekowe. Niech X b_{}edzie punktem przeci_{}ecia AD i CE. Pokazać, że \frac{CX}{XE} = \frac{AC^{2}}{CE^{2}}

Zadanie 5. Trzy ci_{}eciwy sfery: AB, CD i EF przecinaj _{}a si_{}e w jej wn_{}etrzu w punkcie X, ale nie leż _{}a w jednej płaszczyźnie. Sfery opisane na czworościanach ACEX i BDF X s _{}a styczne. Udowodnić, że te trzy ci_{}eciwy s _{}a równej długości.

Zadanie 6. Udowodnij, że dla każdego n > 0 zachodzi

\frac{1}{3n + 1} + \frac{1}{3n + 2} + ... + \frac{1}{5n + 1} \frac{2}{3}

Zadanie 7 Dane s _{}a dwie liczby naturalne r, g. Przez R(r, g) ocznaczymy najmniejsz _{}a liczb_{}e naturaln _{}a n o nast_{}epuj _{}acej własności: dla dowolnego pokolorowania wszystkich krawedzi grafu K_{n} na dwa kolory (czerwony i zielony), istnieje podgraf K_{r} koloru czerwonego lub podgraf K_{g} koloru zielonego. Dowieść, że

(r − 1)(g − 1) + 1 R(r, g) \binom{r + q − 2}{r − 1}

Zadanie 8 (Nieskończone twierdzenie Ramseya) Tym razem nasz graf ma wierzchołki b_{}ed _{}ace wszystkimi liczbami naturalnymi (jest to graf K_{N}). Pokazać, że koloruj _{}ac kraw_{}edzie tego nieskończoego grafu na 2 kolory, istnieje nieskończona klika jednego koloru lub nieskończona klika drugiego koloru.