Znowu różne

1. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje niestała funkcja f : Z^{+} −→ Z^{+} ∪ {0} spełniaj _{}aca dla każdej pary m, n ∈ ℤ^{+} równość

f(mn) = f(m) + f(n)

2. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje różnowartościowa funkcja f : Z^{+} −→ Z^{+} ∪{0} spełniaj _{}aca dla każdej pary m, n ∈ ℤ^{+} równość

f(mn) = f(m) + f(n)

3. n-k _{}at A_{1}A_{2} …A_{n} o obwodzie l jest wpisany w okr _{}ag, którego środek leży w jego wn_{}etrzu. Proste styczne do okr_{}egu w punktach A_{1}, A_{2}, …, A_{n} wycinaj _{}a z płaszczyzny n-k _{}at o obwodzie L. Pokazać, że \frac{l}{L} cos \frac{π}{n}.

4. Rozstrzygn _{}ac, czy średnia arytmetyczna dwóch różnych kwadratów liczb całkowitych może być kwadratem liczby całkowitej.

5. W czworok _{}acie ABCD przek _{}atna BD nie jest dwusieczn _{}a źadnego z k _{}atów BAC ani ADC. Punkt P leży wewn _{}atrz czworok _{}ata i spełnia równości ∠P BA = ∠P BC oraz ∠P DA = ∠P DC. Pokazać, że czworok _{}at jest wpisywalny w okr _{}ag wtedy i tylko wtedy gdy AP = P C.

6. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC gdzie AB < AC okr _{}ag o średnicy BC przecina boki AB i AC odpowiednio w punktach M i N. Punkt O jest środkiem odcinka BC zaś dwusieczne k _{}atów ∠MON i ∠BAC przecinaj _{}a si_{}e w R. Pokazać, że okr_{}egi opisane na trójk _{}atach BMR i CNR maj _{}a punkt wspólny z odcinkiem BC.

7. W równoległoboku ABCD na bokach CD i BC obrano punkty N i M tak, by \frac{DN}{NC} = \frac{CM}{MB} . Proste AM i AN przecinaj _{}a przek _{}atn _{}a BD w punktach P i Q odpowiednio. Pokazać, że [ABP] + [ADQ] = [P QNCM].