Nierówności cykliczne I seria

1. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich x, y, z zachodzi nierówność

\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} ≥ \frac{3}{2}.

2. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich x, y, z zachodzi nierówność

\frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y} ≥ \frac{x + y + z}{2} .

Jak można uogólniać te nierówności dla wi_{}ekszej liczby zmiennych?

Nierówności cykliczne II seria

3. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich x_{1}, x_{2}, …, x_{n} zachodzi nierówność

\frac{x_{1}}{x_{2} + … + x_{n}} + \frac{x_{2}}{x_{3} + … + x_{1}} + … + \frac{x_{n}}{x_{1} + … + x_{n−1}} ≥ \frac{n}{n − 1}.

4. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich x_{1}, x_{2}, …, x_{n} zachodzi przynajmniej jedna z nierówności

\frac{x_{1}}{x_{2} + x_{3}} + \frac{x_{2}}{x_{3} + x_{4}} + … + \frac{x_{n}}{x_{1} + x_{2}} ≥ \frac{n}{2}

lub

\frac{x_{1}}{x_{n} + x_{n−1}} + \frac{x_{2}}{x_{1} + x_{n}} + … + \frac{x_{n}}{x_{n−1} + x_{n−2}} ≥ \frac{n}{2}

5. Problemem Shapiro nazywamy pytanie, dla jakich n nierówność

\frac{x_{1}}{x_{2} + x_{3}} + \frac{x_{2}}{x_{3} + x_{4}} + … + \frac{x_{n}}{x_{1} + x_{2}} ≥ \frac{n}{2}

zachodzi dla wszystkich liczb dodatnich x_{i}. Udowodnij, że jeśli w problemie Shapiro istnieje kontrprzykład dla n, to istnieje kontr-

przykład dla n + 2.

UWAGA Kontrprzykładem dla n = 14 jest ci _{}ag

\frac{1007}{1000}, \frac{7}{1000}, \frac{1004}{1000}, \frac{6}{1000}, \frac{1001}{1000}, \frac{5}{1000}, 1, \frac{2}{1000}, \frac{1001}{1000}, 0, \frac{1004}{1000}, \frac{1}{1000}, \frac{1006}{1000}, \frac{4}{1000},

dla którego wartość powyższego wyrażenia wynosi 6, 999998254.

Jak w świetle zadań z tej serii można próbować uogólnić nierówność 2.?

Nierówności cykliczne III seria

6. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b zachodzi nierówność

\frac{a + b}{2} · \frac{a^{2} + b^{2}}{2} · \frac{a^{3} + b^{3}}{2} ≤ \frac{a^{6} + b^{6}}{2} .

7. Niech a, b, c b_{}ed _{}a długościami boków trójk _{}ata, zaś m_{a}, m_{b} i m_{c} długościami jego odpowiednich środkowych. Udowodnij, że

9(\frac{m_{a}}{a^{2}} + \frac{m_{b}}{b^{2}} + \frac{m_{c}}{c^{2}} ) ≥ (m_{a} + m_{b} + m_{c})(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{2}.